EL APRESTO MATEMÁTICO EN LA FORMACIÓN INICIAL DEL NIÑO.

Lidia Bartolo Guerrero 

Universidad de Tarapacá

Arica- Chile

La conocida profesora chilena, señora María del carmen Rencort señala en una de sus obras (1994, p.13): “La misión de la Educación es lograr el pleno desarrollo de toda la potencialidad de cada individuo que llegará así a transformarse en una persona integrada a la sociedad, con intereses propios y en permanente evolución autónoma”.

Desde esta perspectiva, la importancia de la Matemática es indiscutible, la cual puede ser analizada desde una doble perspectiva: como proceso y como producto.

En cuanto proceso, la formación matemática adecuada permite desarrollar habilidades cognitivas y estructuras de pensamiento generales y específicas, que preparan al individuo para enfrentar con mayores probabilidades de éxito tanto de los múltiples problemas de la vida cotidiana y laboral, como los cambios y desafíos propios de nuestra época. La matemática como ciencia deductiva desarrolla el pensamiento lógico, agiliza el razonamiento, la capacidad de deducción la creatividad y la autonomía, todos estos aspectos propios del pensamiento divergente.

La formación matemática, en cuanto producto, proporciona un sistema estructurado de conocimientos (conformado por conceptos y relaciones), además de un lenguaje y un sistema de signos, que constituyen uno de los aspectos medulares de la cultura contemporánea. El saber matemático ha llegado a ser un poderoso sistema teórico de alto nivel de abstracción, pese a lo cual constituye la base estructural necesaria para el desarrollo científico y tecnológico del mundo actual.   La  asimilación del saber matemático, desarrollado, depurado y transmitido por generaciones sucesivas de individuos, como parte importante del acervo cultural de la humanidad, responde a lo que se conoce como pensamiento convergente.

     Ambas formas de pensamiento, convergente y divergente, son necesarias y complementarias en el acto del pensar matemático y en la resolución de problemas.

     Los primeros conceptos matemáticos se forman durante la etapa preescolar.   Aunque de carácter prenumérico, estos conceptos sirven como base o andamiaje a todo el conocimiento matemático posterior, especialmente a aquellos  relacionados con números y operaciones aritméticas.

     De acuerdo a las teorías psicológicas modernas, las nociones matemáticas básicas tienen su origen en los esquemas motrices propios de los primeros estadios de desarrollo del individuo.  Piaget  (Piaget y Inhelder, 1983) afirma que cualquier adquisición mental, no se da por simple aprendizaje sino por evolución a partir de las edades más tempranas de la vida del niño de una serie de estructuras mentales que van progresando a través de etapas y en un determinado orden, conformando sistemas cada vez más complejos.

     De acuerdo a las investigaciones de Piaget (Piaget y Szeninska, 1975, la iniciación de los aspectos numéricos y las operaciones aritméticas elementales requieren del niño el dominio de procesos lógicos y esquemas de pensamiento específico, los cuales se adquieren alrededor de los 7 u 8 años de edad, específicamente cuando el niño ha alcanzado el estadio de las operaciones concretas.

     El desarrollo de estas conductas prenuméricas debe, por lo tanto, ser estimulado durante los últimos años de la educación preescolar y al comienzo de la escolaridad básica. La necesidad de esta estimulación es más evidente si se toma en cuenta  que, de acuerdo a investigaciones desarrolladas (Bartolo y Erber, 1993) un porcentaje significativo de niños de primer y segundo año  de Educación General Básica de las Provincias de Arica y Parinacota, inician el aprendizaje matemático sin haber alcanzado plenamente el periodo de desarrollo ya señalado.   Existen fundadas sospechas  de que esta situación se presenta también en otras regiones del país.   Cabe entonces preguntarse acerca de la calidad de los aprendizajes cuando estos son iniciados  sin contar con los esquemas de pensamiento que constituyen sus fundamentos o requisitos.

     El conjunto de actividades destinadas a desarrollar las funciones neuropsíquicas y esquemas de pensamiento necesarias para el aprendizaje de los primeros conceptos numéricos y operatorios, se conoce como aprestamiento matemático.   Estas actividades deben estar estructuradas en un programa de trabajo, el cual debe responder a un adecuado diagnóstico individual y grupal.   El grado de efectividad de este programa de actividades va a depender del nivel de desarrollo cognitivo alcanzado por el niño, siendo mayor su efecto en aquellos que se encuentran en un nivel de Transición y, por lo tanto, están próximos al periodo de las operaciones concretas.

     De acuerdo a Piaget  y sus seguidores, los conceptos y conductas prenuméricas que se estimulan durante el aprestamiento matemático constituyen las estructuras lógicas primarias del razonamiento humano y constituyen, en suma, las bases de la inteligencia.

Consecuente con lo planteado, puede considerarse como objetivo general del Aprestamiento Matemático: el desarrollo de las conductas y conceptos que constituyen los fundamentos y bases lógicas de los primeros conceptos cuantitativos relacionados con números y operaciones aritméticas.            Este objetivo general puede  desglosarse en los siguientes objetivos específicos. (Oñativia y Boffa-Trasci, 1983).

1.    Iniciar el pensamiento del niño en la formación de las estructuras lógicas que son anteriores a las estructuras matemáticas básicas.

2.    Construir los principios básicos que conducen a la cuantificación de la realidad y el valor cardinal y ordinal del número.

3.    Internalizar acciones que dan soporte concreto a las operaciones aritméticas básicas.

Según Oñotivia y Boffa-Trasci (1983), aún existen educadores que no reconocen la necesidad de un periodo preparatorio para la enseñanza inicial, tanto de la lectoescritura como de la matemática, aduciendo que las conductas  que éste desarrolla  no tienen una relación directa con los aprendizajes matemáticos posteriores.    

Estos planteamientos se basan en una concepción errónea de lo que es el aprestamiento y de cuál es su objetivo.   Si bien es cierto  que este periodo “compromete procesos de maduración que en sí mismos no son todavía ni lectores ni numéricos” (Oñotivia y Boffa-Trasci, 1983, p.35), se enfoca hacia “actividades y procesos de la vida mental vinculados con las etapas de maduración que son previas y necesarias al aprendizaje propiamente dicho” (Oñotivia y Boffa-Trasci, 1983). Con esto se muestra que aunque sus objetivos no son coincidentes, están estructuralmente vinculados; es más, el periodo de aprestamiento proporciona las bases lógicas que aseguran un aprendizaje matemático razonado y no mecánico.

Al revisar las bases lógicas de la construcción del concepto de número por el niño se puede apreciar que la noción  de cantidad ha sido utilizada espontáneamente desde siempre por el hombre (Rencoret, 1994), sin embargo,  los aspectos conceptuales del número, sólo han sido abordados y enclarecidos en el último siglo.

El número en su concepción más amplia (natural, cardinal, entero, racional, etc.) es un constructo teórico, como todos los entes matemáticos.   Esto significa que es inaccesible a nuestros sentidos y que sólo puede ser percibido con los ojos de la mente, capacidad privativa de los seres humanos y uno de los componentes de la denominaba habilidad matemática. El concepto de número natural se fundamenta en ciertas relaciones que pueden establecerse entre conjuntos finitos, específicamente en el concepto de equivalencia entre conjuntos.  Según Rencoret (1994), sólo los conjuntos tienen la propiedad numérica: un objeto puede ser rojo, grande, largo o bonito, pero ningún objeto tiene la propiedad de ser tres.   El número no es una cualidad del objeto en cuanto ente físico o concreto sino que emerge como característica de un conjunto o clase de objetos. Surge así el número natural como la propiedad común de una familia infinita de conjuntos equivalentes; cada número natural representa a una familia de conjuntos equipotentes y surge como la propiedad que se desprende de la percepción de la característica  cuantitativa de ellos.       

 Construir la noción de número como clase es una actividad operatoria que, partiendo de la realidad concreta, alcanza lo formal.   Efectivamente, se construye la noción de número tres (como el del ejemplo) cuando se trascienden los aspectos físicos de la realidad de los tres elementos     pertenecientes a alguno de los conjuntos y se considera a éste como elemento con el cual es posible operar.

La teoría piagetana diferencia la abstracción de propiedades físicas (como color, tamaño, etc.) de la abstracción de la cualidad numérica.   A la primera se le denomina abstracción empírica o simple mientras que a la abstracción de número se la asocia con la abstracción reflexiva.             Según Kamii (1984), en la abstracción empírica el niño solamente focaliza una cierta propiedad de los objetos e ignora las otras; en contrapartida, la abstracción reflexiva involucra la abstracción de relaciones entre objetos, relaciones que no tienen existencia externa o concreta  y existen sólo en las mentes de aquellos que pueden crearla.   Dado que este tipo de abstracción es una construcción de la mente, también podría denominarse abstracción constructiva.

“A pesar de la distinción entre la abstracción reflexiva y la empírica, Piaget afirma que en el ámbito de la realidad psicológica del niño no es posible que alguno de estos tipos de abstracción exista sin el otro” (Kamii, 1984, p. 17).   Esto significa que el niño no puede construir el conocimiento físico sino tiene un sistema  de referencia lógico-matemático que le permita relacionar nuevas experiencias con conocimientos ya existentes (por ejemplo, para distinguir el rojo de los demás colores necesita un sistema clasificatorio); por otra parte, durante los primeros estadios de desarrollo, la abstracción reflexiva no puede ocurrir independiente de la empírica, aunque más adelante ya no la requiera.    La distinción entre estos dos tipos de abstracción puede parecer poco importante cuando los niños están aprendiendo los primeros diez números cardinales (dígitos), pero puede causar grandes problemas en el aprendizaje de ámbitos numéricos mayores.

El número construido como clase tal como ha sido descrito en los párrafos anteriores, “es un esfuerzo de la razón, una actividad de la mente, una categoría que aprehende la realidad bajo bajo el aspecto de la cantidad” (Rencoret, 1994, p. 49).

Siguiendo con el ejemplo del número tres, este número además de representar la familia de conjuntos equivalentes con tres elementos, indica la posición relativa de esta clase con respecto a otras.   Así entonces se puede decir que la clase del tres es menor que la clase del “cuatro” pero es mayor que la clase del “dos”. Esto permite formar la serie de números naturales en la cual cada número tiene una posición y mantiene una relación respecto de los demás.

De acuerdo a Piaget y Szeminska (1975), y tal como ha sido presentado aquí, el concepto de número no puede desarrollarse a partir de una definición, ni a partir de su nombre (que sólo es un vocablo), ni a partir de un símbolo (que sólo es un grafismo), sino que se construye a partir de las relaciones que se pueden establecer y coordinar en los objetos agrupados en conjuntos.   De ahí la necesidad de estimular al niño a establecer todo tipo de relaciones entre objetos primeros y entre conjuntos después.   Las relaciones establecidas pueden ser de semejanza o de diferencia.   Las de semejanza llevan, primero, a formar conjuntos con objetos que presenten alguna característica (observable) en la cual son semejantes, aunque en otras difieran (como por ejemplo, el conjunto de los objetos que son juguetes, sin que importe su color, tamaño o material); posteriormente, a agrupar conjuntos que tengan entre sí la relación de equivalencia.   Las relaciones de semejanza llevan entonces a formar clases y familias y, más adelante, cuando a partir de un conjunto de referencia se formen varias clases o conjuntos, a clasificar.   Todo esto tiene que ver con el aspecto cardinal de número. 

Cada uno de los conjuntos formados (subclases) es un subconjunto del conjunto de referencia.   Esto permite afirmar, por ejemplo, que el conjunto de las flores rojas es un subconjunto del conjunto de las flores, o que el conjunto de las flores rojas está incluido en el conjunto de las flores. Aquí está presente otra de las conductas prenuméricas conocida como “relación parte-todo”. También permite plantear afirmaciones como: “algunas flores son rojas”, “todas son flores” o “hay más flores que flores rojas”.     Esto nos muestra que los cuantificadores lógicos todos, algunos, ninguno, etc. y la relación parte-todo están estrechamente relacionados con la relación de inclusión y ésta con la idea de subconjunto.

Las relaciones también pueden ser de desigualdad las cuales, al establecerse entre objetos, permiten afirmaciones tales como: “Juan es menor que Luis” o “el lápiz verde es más grande que el lápiz azul”. Más adelante, establecidas estas relaciones entre conjuntos, permiten afirmaciones tales como: “el conjunto A tiene menos elementos que el conjunto B”  o “la cardinalidad de E es mayor que la cardinalidad de F”. Y posteriormente, establecidos entre números, permite afirmaciones tales como  6 < 8.

Las relaciones de desigualdad conducen a la ordenación o seriación. A su vez, la idea de orden está estrechamente relacionada con la idea de contar, pero no la agota.   La acción de contar se manifiesta en niños desde edades muy tempranas pero tiene diferentes connotaciones según el estadio de desarrollo en el cual se encuentra el niño.

Según  Kamii (1984) en niños muy pequeños es posible observar la tendencia a contar objetos saltándose algunos o contando un mismo objeto más de una vez, errores que se presentan aún cuando conozca y sepa recitar perfectamente la secuencia numérica hasta diez o más.  Esto se debe a que el niño no siente la necesidad lógica de colocar los objetos en un determinado orden  para evitar omisiones o repeticiones.   Esta ordenación no significa cambio en la disposición espacial de los objetos sino una ordenación mental de ellos.

“Este proceso de contaje, esto es, la sucesiva asignación de un número a los objetos paticulares que constituyen una serie, corresponde al aspecto ordinal del número.   Queda, sin embargo, un último paso, el que consiste en saber que el número con el que se termina de contar una colección puede ser utilizado para representar el tamaño (la numerosidad o la muchedumbre) de una colección entera.   Dicho conocimiento liga entre sí los aspectos cardinal y ordinal del número” (Dickson y otros, 1971, pág. 182).

El contar reflexivo también implica la convicción, por parte del niño, de que la cantidad de elementos que está contando no varía al cambiar el orden en que los considere al contar;  esto y obviamente tiene estrecha relación con la conservación de conjuntos discretos.

La relación de orden, elaborada por abstracción reflexiva, y no por simple mecanización o memorización de la serie numérica, está estrechamente relacionada con la inclusión jerárquica ya que para determinar la cardinalidad de un conjunto, el niño tiene que concebir los números en una relación de inclusión jerárquica o inclusión sucesiva; esto significa incluir mentalmente el uno en el dos, el dos en el tres, el tres en el cuatro, etc., y no considerar las palabras uno, dos, tres, etc., como elementos individuales e independientes de la serie numérica.

Sólo cuando el niño es capaz de contar reflexivamente y concebir la relación de inclusión jerárquica que existe entre dos números, es capaz de dar respuestas acertadas a interrogantes como:  ¿cuántas casas hay aquí?.    La respuesta correcta se obtiene cuando cuenta señalando sólo un objeto por vez, llevando el control de los objetos que ya han sido contados y cuando es capaz de asignar el último número enunciado (cuatro) como respuesta al “cuanto”, o sea, como cardinalidad del conjunto.

Cuando “el niño ha desarrollado la capacidad de agrupar considerando las semejanzas y ordenar de acuerdo a las diferencias, adquiere la posibilidad de clasificar y seriar simultáneamente.   Allí, según Piaget, se origina el concepto de número como síntesis de similitudes y de diferencias cuantitativas” (Rencoret, 1994, p. 48).

Un concepto, como el concepto de número,  es un ente puramente mental, es inaudible e invisible (mientras no existan formas de observar el contenido de la mente).       Para representar un concepto se requiere de la utilización de medios audibles y visibles como las palabras (habladas o escritas) o marcas sobre una superficie (grafismo).   Así la palabra ocho y el grafismo 8 son signos convencionales asociados a una idea: el número 8.

Estos signos (palabras o grafismos) que permiten evocar números, son una creación del hombre y, por lo tanto, han ido evolucionando a través de la historia de la civilización del mismo modo como han evolucionado el lenguaje, costumbres y creencias.   Esto significa que aunque actualmente los grafismos 1, 2, 3, etc., son de uso universal, no siempre fue así y que las palabras asociadas a ellos cambian según el idioma (son convencionales).   En consecuencia, estos signos no pueden ser adquiridos espontáneamente por el hombre como producto de una maduración o desarrollo, por el contrario, requieren de transmisión social.

El signo usado para comunicar un número por escrito se denomina numeral.   Estos se pueden combinar mediante reglas conformando un sistema de numeración, el cual permite expresar diferentes números con una cantidad reducida de símbolos básicos.   A través de la historia se han creado diferentes sistemas de numeración; prácticamente todas las grandes culturas idearon algún sistema de numeración para expresar aspectos cuantitativos requeridos por su vida diaria.   Actualmente el sistema de numeración usado universalmente es el denominado indoarábigo debido a que se considera desarrollado por los hindúes y difundido por lo árabes.

Los primeros sistemas de numeración surgen en el seno de las grandes culturas del mundo antiguo, tales como la cultura egipcia, la cultura babilónica, la romana, etc. Sin embargo en las tarjas (conocidas como “cuantos” encontradas en las paredes de cavernas prehistóricas, en los nudos incas (conocidos como quipus), etc., puede apreciarse que el hombre primitivo tuvo desarrolló el concepto de número, asociado a la equivalencia de conjuntos concretos y finitos, muchísimos siglos antes de que apareciera la escritura e incluso, antes de que se desarrollar el lenguaje. Es por eso que, no se puede suponer que el niño “aprende” los números cuando puede usar vocablos como “ocho” o reconocer símbolos como 8. Tal como ha sido presentado aquí, la construcción del concepto de número se inicia mucho antes, con las experiencias prenuméricas como comparar, trabajar con series cualitativas (patrones) o cuantitativas, establecer relaciones parte-todo (o inclusión de clase), clasificar, establecer relaciones uno a uno, usar cuantificadores, etc., cuyo valor debe ser conocido por los educadores infantiles, a quienes corresponde fundamentalmente sentar las bases del número.

BIBLIOGRAFIA

Bartolo, L. & Erber, S. (1993.)  Desarrollo cognitivo de los niños del Primer ciclo de la Educación General Básica de las Provincias de Arica y Parinacota.  (Informe final de investigación).  Arica: U. de Tarapacá, 

Dickson, L  et  al (1971).  El aprendizaje de las matemáticas. Barcelona: Labor.

Kamii, C. (1984).  A crianca e o número. Campinas: Papirus.

     Oñativa, O. & Baffa -Trasci, L. (1983). Método integral para el aprendizaje de la matemática inicial. Buenos Aires: Guadalupe.

     Piaget,J. & Inhelder, B. (1983). Geneses das estructuras lógicas elementares. Río de Janeiro.

Piaget, J. & Szeminska, A. (1975).   A geneses do número na crianca. Río de Janeiro: Zahar.

Rencoret, M. (1994)  Iniciación matemática. Santiago: Andrés Bello..

ANTECEDENTES DE LA AUTORA

lbartolo@uta.cl

Lidia del Carmen Bartolo Guerrero, académica de la Facultad de Educación y Humanidades de la Universidad de Tarapacá (Arica- Chile), donde tiene a cargo las cátedras de Didáctica de las Matemáticas en las carreras de pedagogía en educación Básica y pedagogía en matemática. Tiene  título de Profesora Primaria  y de Profesor de Estado en Matemática. 

RESUMEN DEL TRABAJO

La iniciación de los aspectos numéricos y las operaciones aritméticas elementales requieren del niño el dominio de procesos lógicos y esquemas de pensamiento específico, los cuales se adquieren alrededor de los 7 años de edad, específicamente cuando el niño ha alcanzado el estadio de las operaciones concretas. Es por ello que durante los últimos años de la educación preescolar y al comienzo de la escolaridad básica deben estimularse el desarrollo de conductas prenuméricas que sirven como base o andamiaje a todo el conocimiento matemático posterior, especialmente a aquellos  relacionados con números y operaciones aritméticas. Sin embargo, no todos los educadores infantiles comprenden a cabalidad la importancia que tienen actividades como comparar, ordenar, formar conjuntos, etc., en la construcción del concepto de número por el niño. El propósito de este trabajo es precisamente  aclarar esto.