Las metodologías para el desarrollo del pensamiento lógico matemático
RESUMEN
Cada vez más, la comprensión
de los conceptos matemáticos como actividad escolar en Educación
Infantil, depende de planteamientos metodológicos adecuados que
permitan al niño generar ideas desde la observación, la
imaginación, la intuición y el razonamiento lógico.
A este afán de comprensión hay que añadir la necesidad
de extensión, de los conceptos adquiridos, al entorno inmediato
en el que el alumno se desenvuelve, con el claro objetivo de aplicar correctamente
las relaciones descubiertas, y descubrir otras nuevas que aporten al conocimiento
amplitud intelectual. Este reto a la enseñanza muestra palmariamente
la necesidad de aprender "haciendo", teniendo como base el desafío,
los ejemplos y contraejemplos abiertos a la contrastación y canalización
de sus ideas. Exigencia de aprendizaje que puede verse amenazada por una
falta de prudencia en la decisión de una metodología didáctica;
cuyos procedimientos deben apoyarse, principalmente, en la curiosidad
y en la necesidad, a través de cuatro etapas que, en nuestra opinión,
constituyen el acto didáctico como actuación en el aula,
para la clara y ortodoxa comprensión de los conceptos y relaciones,
el enriquecimiento intelectual y la satisfacción personal: Etapa
de Elaboración, Etapa de Enunciación, Etapa de Concretización
y Etapa de Transferencia o Abstracción.
LAS METODOLOGÍAS PARA EL DESARROLLO
DEL PENSAMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO
I. Factores intervinientes en el desarrollo
del pensamiento lógico-matemático.
El pensamiento lógico infantil se
enmarca en el aspecto sensomotriz y se desarrolla, principalmente, a través
de los sentidos. La multitud de experiencias que el niño realiza
-consciente de su percepción- consigo mismo, en relación
con los demás y con los objetos del mundo circundante, transfieren
a su mente unos hechos sobre los que elabora una serie de ideas a las
que podemos llamar "creencias". De estas percepciones no podemos decir,
por su construcción lógica infantil, que sean matemáticas.
El contenido matemático no existe; lo que existe es una interpretación
matemática de esas adquisiciones. Esta interpretación se
va consiguiendo, en principio, a través de experiencias en las
que el acto intelectual se construye mediante una dinámica de relaciones
sobre la cantidad y la posición de los objetos en el espacio y
en el tiempo. Es por eso, por lo que cada vez más se señala
la diferencia entre contenido y conocimiento; con contenido hacemos referencia
a lo que se enseña y, con conocimiento, a lo que se aprende. Un
paso más nos llevará a estudiar la fiabilidad y validez
de ese conocimiento. De momento, tengamos presente esta sencilla distinción.
El desarrollo de cuatro capacidades favorece
el pensamiento lógico-matemático:
La observación: Se debe potenciar sin
imponer a la atención del niño lo que el adulto quiere
que vea; es más una libre expresión de lo que realmente
él puede ver. La observación se canalizará libremente
y respetando la acción del sujeto, mediante juegos cuidadosamente
dirigidos a la percepción de propiedades y a la relación
entre ellas. Esta capacidad de observación se ve aumentada cuando
se actúa con gusto y tranquilidad y se ve disminuida cuando existe
tensión en el sujeto que realiza la actividad. Según Krivenko
(1990), hay que tener presentes tres factores que intervienen de forma
directa en su desarrollo: El factor tiempo, el factor cantidad y el
factor diversidad.
La imaginación. Entendida como acción
creativa, se potencia con actividades que permiten una pluralidad de
alternativas a la acción del sujeto. Ayuda al aprendizaje matemático
por la variabilidad de situaciones a las que se transfiere una misma
interpretación. En ocasiones se suele confundir con la fantasía.
Cuando, bajo un punto de vista matemático hablamos de imaginación
, no queremos decir que se le permita al alumno todo lo que se le ocurra;
más bien, que consigamos que se le ocurra todo aquello que se
puede permitir según los principios, técnicas y modelos
de la matemática.
La intuición: Las actividades dirigidas
al desarrollo de la intuición no deben provocar técnicas
adivinatorias; el decir por decir no desarrolla pensamiento alguno.
La arbitrariedad no forma parte de la actuación lógica.
El sujeto intuye cuando llega a la verdad sin necesidad de razonamiento.
El razonamiento lógico: El razonamiento
es la forma del pensamiento mediante la cual, partiendo de uno o varios
juicios verdaderos, denominados premisas, llegamos a una conclusión
conforme a ciertas reglas de inferencia. Para Bertrand Russell (1988)
la lógica y la matemática están tan ligadas que
afirma: "la lógica es la juventud de la matemática y la
matemática la madurez de la lógica". La referencia al
razonamiento lógico se hace desde la dimensión intelectual
que es capaz de generar ideas en la estrategia de actuación ante
un determinado desafío. El desarrollo del pensamiento es resultado
de la influencia que ejerce en el sujeto la actividad escolar y familiar.
Toda actividad que intente cumplir este objetivo se dirigirá
a estimular en el alumno la capacidad para generar ideas y expresarlas.
Si no se les escucha es imposible desarrollar pensamiento alguno. Muchas
veces lo que hacemos únicamente es conseguir que escuchen nuestros
pensamientos, ¿que creemos ya formados y correctos?, cuando lo importante
es dirigir los suyos propios. Es por eso por lo que la mayoría
de los niños y las niñas tienen por único argumento
razonado: "Él /ella lo dijo (Ipse dixit) - refiriéndose
al profesor/a-", cuando lo importante es cambiar esa expresión
arcaica por otra más moderna, y que el argumento de cada escolar
sea: "Yo puedo verlo (I can see it)".
Estos cuatro factores ayudan a entender
el pensamiento lógico-matemático desde tres categorías
básicas:
Capacidad para generar ideas cuya expresión e
interpretación sobre lo que se concluya sea: verdad para todos
o mentira para todos.
Utilización de la representación o conjunto
de representaciones con las que el lenguaje matemático hace referencia
a esas ideas.
Comprender el entorno que nos rodea, con mayor profundidad,
mediante la aplicación de los conceptos aprendidos.
Sobre estas indicaciones cabe advertir
la importancia del orden en el que se han expuesto. Obsérvese que,
en muchas ocasiones, se suele confundir la idea matemática con
la representación de esa idea. Se le ofrece al niño, en
primer lugar, el símbolo, dibujo, signo o representación
cualquiera sobre el concepto en cuestión haciendo que el sujeto
intente comprender el significado de lo que se ha representado. Estas
experiencias son perturbadoras para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático.
Se ha demostrado suficientemente que el símbolo o el nombre convencional
es el punto de llegada y no el punto de partida, por lo que, en primer
lugar, se debe trabajar sobre la comprensión del concepto, propiedades
y relaciones.
Otra cuestión importante sobre
la formación del conocimiento matemático es la necesaria
distinción entre: la representación del concepto y la interpretación
de éste a través de su representación. Se suele creer
que cuantos más símbolos reconozca el niño más
sabe sobre matemáticas y, aunque esto se aleja mucho de la realidad
en la que se desenvuelve esta ciencia no faltan en las escuelas falsas
analogías didácticas: "El dos es un patito" o "La culebra
es una curva" o…. Tales expresiones pueden implicar el reconocimiento
de una forma con un nombre, por asociación entre distintas experiencias
del niño, pero en ningún modo contribuye al desarrollo del
pensamiento matemático, debido a que miente sobre el contenido
intelectual al que se refiere, por ejemplo, el concepto dos: Nunca designa
a UN "patito". En resumen, lo que favorece la formación del conocimiento
lógico-matemático es la capacidad de interpretación
matemática, y no la cantidad de símbolos que es capaz de
recordar por asociación de formas.
II. Fundamentos de metodología
didáctica en la formación del conocimiento lógico-
matemático
Actualmente se ha comprobado la necesidad
de subordinar la enseñanza al aprendizaje. Lo importante es ir
descubriendo cómo aprenden para que podamos crear técnicas
válidas de cómo enseñar. Garantizando que se cumple
la influencia señalada se hace obligado partir de dos fundamentos
principales: Por un lado, que sea el alumno el constructor de sus propios
conocimientos. Por otro, que la comprensión de los conceptos sea
anterior al enunciado convencional que se ha adquirido por tradición;
primero comprender, después enunciar. Para que estos
fundamentos no sean desnaturalizados se tiende a evitar, por parte del
profesor/a, toda información verbal no comprendida por el alumno,
partiendo en todo momento del vocabulario que ellos utilizan. En esta
metodología las palabras correctivas: "bien" o "mal" carecen de
sentido. Si decir mal obstaculiza el desarrollo personal, decir bien interrumpe
el proceso intelectual: y todo ello porque un alumno o grupo de alumnos
han dicho algo que se corresponde con lo que el profesor espera oír.
Esta forma de proceder hace gala cada vez más de una psicología
del convencimiento dirigida a enseñar que el trabajo escolar consiste
en adivinar lo más rápidamente que se pueda lo que el responsable
de esa enseñanza obliga a ver y a expresar. Evidentemente, la escuela
en unos años les muestra que la participación es cosa de
unos pocos que formulan correctamente lo que el profesor/a ha creído
conveniente seleccionar. Esta constitución de corrupción
intelectual produce un efecto adivinatorio e inhibidor, y toda creatividad
que por naturaleza heredó el niño se convierte en nociva
para lo que debería ser investigación y descubrimiento;
la esperanza de saber degenera pronto a la decadencia de la razón
del programa que ha sido creado por solidaridad a los maestros que no
saben qué hacer sin él, cuando la verdadera ventaja de llamarse
maestro viene reforzada por seguir al niño y no al programa. Por
eso está afectada de falsedad la búsqueda de la razón
del profesor en el hacer matemático: porque en este hacer más
que la razón existen los razonamientos; y éstos son consecuencia
del arte de preguntar, de la inclusión de desafíos, de ejemplos
y contraejemplos que eduquen un temperamento intelectual capaz de comprender
la matemática a través de la necesidad de pensar.
Generalmente se ha aceptado que el aprendizaje
de la matemática en la etapa infantil se refería al número
y a la cantidad, apoyadas principalmente sus actividades en el orden y
la seriación, siendo el contar el trabajo más preciado para
la actividad matemática. Hoy, la naturaleza de la enseñanza
de la matemática se muestra diferente: como expresión, como
un nuevo lenguaje y un nuevo modo de pensar con sus aplicaciones prácticas
a su entorno circundante. Aunque la asociación matemática
y número suele ser habitual, se hace necesario indicar que no siempre
que aparece la matemática se refiere al número, del mismo
modo que el hecho de utilizar números nada puede decir del hacer
matemático, si este hacer no ha sido generado por una acción
lógica del pensamiento.
El desarrollo del pensamiento lógico-matemático
se puede recorrer didácticamente:
Estableciendo relaciones y clasificaciones entre y con
los objetos que le rodean.
Ayudarles en la elaboración de las nociones espacio-temporales,
forma, número, estructuras lógicas, cuya adquisición
es indispensable para el desarrollo de la inteligencia.
Impulsar a los niños a averiguar cosas, a observar,
a experimentar, a interpretar hechos, a aplicar sus conocimientos a
nuevas situaciones o problemas
Desarrollar el gusto por una actividad del pensamiento
a la que irá llamando matemática.
Despertar la curiosidad por comprender un nuevo
modo de expresión.
Guiarle en el descubrimiento mediante la investigación
que le impulse a la creatividad.
Proporcionarles técnicas y conceptos matemáticos
sin desnaturalización y en su auténtica ortodoxia.
Los procedimientos que se utilicen para
la consecución de los objetivos presentados anteriormente serán
válidos en tanto se apoyen lo más posible en el juego, obteniendo
como resultado experiencias fructíferas que aseguren la fiabilidad
del conocimiento lógico y matemático.
Dienes (1977), plantea cuatro principios
básicos para el aprendizaje de la matemática, son los siguientes:
Principio dinámico. El aprendizaje
marcha de la experiencia al acto de categorización, a través
de ciclos que se suceden regularmente uno a otro. Cada ciclo consta, aproximadamente,
de tres etapas: una etapa del juego preliminar poco estructurada; una
etapa constructiva intermedia más estructurada seguida del discernimiento;
y, una etapa de anclaje en la cual la visión nueva se fija en su
sitio con más firmeza.
Principio de construcción.
Según el cual la construcción debe siempre preceder al análisis.
La construcción, la manipulación y el juego constituyen
para el niño el primer contacto con las realidades matemáticas.
El principio de variabilidad perceptiva.
Establece que para abstraer efectivamente una estructura matemática
debemos encontrarla en una cantidad de estructuras diferentes para percibir
sus propiedades puramente estructurales. De ese modo se llega a prescindir
de las cualidades accidentales para abstraer lo esencial.
El principio de la variabilidad matemática.
Que establece que como cada concepto matemático envuelve variables
esenciales, todas esas variables matemáticas deben hacerse variar
si ha de alcanzarse la completa generalización del concepto. La
aplicación del principio de la variabilidad matemática asegura
una generalización eficiente.
Utilización didáctica
de materiales y recursos
Cada vez más, la comprensión
de los conceptos se empareja a la manipulación de materiales capaces
de generar ideas válidas sin desnaturalizar el contenido matemático.
A este afán de comprensión hay que añadir la necesidad
de extensión de los conceptos adquiridos al entorno inmediato en
el que el niño se desenvuelve, con el claro objetivo de aplicar
correctamente las relaciones descubiertas, y descubrir otras nuevas que
aporten al conocimiento amplitud intelectual.
El planteamiento didáctico se dirige
a utilizar el contenido como medio para obtener conocimiento (Fernández
Bravo, 1995ª). Por eso, aprender no consiste en repetir las informaciones
escuchadas o leídas, sino en comprender las relaciones básicas
mediante la contrastación de las ideas: Adquirir hábitos
de pensamiento, desarrollar la capacidad creativa, descubrir relaciones,
transferir ideas a otras nuevas situaciones, observar hechos, intuir conceptos,
imaginar situaciones o, buscar nuevas formas de hacer donde, aparentemente,
siempre había una y sólo una.
La utilización de materiales y recursos
es consecuente en su hacer didáctico con la interpretación
que se tenga de la matemática. Que los materiales "didácticos"
se apliquen para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático,
no significa que cubran los altos desafíos educativos para la intelectualización
y aplicación de los conceptos y relaciones. Es la didáctica
utilizada la que nos conducirá, o no, al cumplimiento de tales
objetivos.
El empleo del material es sin duda más
que necesario. Pero si ha de ser fructífero y no perturbador debe
llevar implícito un fuerte conocimiento de los fenómenos
intelectuales que se pueden conseguir y de cómo se consiguen.
El material no debe ser mostrado, sino
utilizado. Lo que se debe mostrar a la consciencia del alumno es el conjunto
de ideas que, de su manipulación, se generan en la mente, y canalizarlas,
en tanto que han sido descubiertas por el niño, en el procedimiento
matemático.
Una cosa es "enseñar" una situación
matemática y que el niño aprenda, y otra, muy distinta,
es permitir que el niño manipule, observe, descubra y llegue a
elaborar su propio pensamiento. No debemos imponer ningún modo
particular para la realización de las distintas actividades. Saber
sugerir para que el educando intuya, es lo propio. Como el trabajo activo
va dirigido al niño es él quien debe realizar la experiencia
y él, quien llegue al descubrimiento por sus propios medios: concediéndole
la posibilidad de jugar con las respuestas antes de escoger una de ellas;
y, eliminando los condicionantes que sujetan la opción de argumentar
sus libres decisiones en la elaboración de estrategias para la
resolución de los conflictos cognitivos que se le puedan plantear
en relación con el material. Así, la matemática se
presenta como algo de lo que se disfruta al mismo tiempo que se hace uso
de ella.
Etapas del acto didáctico.
Existen cuatro etapas fundamentales en
el acto didáctico (Fernández Bravo, 1995b): Elaboración,
Enunciación, Concretización y Transferencia o Abstracción.
Este orden de presentación de las etapas es irreemplazable.
Etapa de Elaboración. En esta etapa se
debe conseguir la intelectualización de la/s estrategia/s, concepto/s,
procedimiento/s que hayan sido propuestos como tema de estudio.
El profesor/a, respetando el trabajo del
educando y el vocabulario por él empleado, creará, a partir
de las ideas observadas, desafíos precisos que sirvan para canalizarlas
dentro de la investigación que esté realizando en su camino
de búsqueda. Tal planteamiento, supone evitar la información
verbal, así como las palabras correctivas: "bien" o "mal"; utilizando,
en todo momento, ejemplos y contraejemplos que aporten continuidad a la
pluralidad de respuestas que escuchemos. Estas respuestas, ya correctas
o incorrectas, se forman a través de un diálogo entre todos
y de un diálogo interior, y deben ser recogidas, como hipótesis,
desde la motivación de comprobarlas por sus propios medios para
establecer conclusiones válidas. La curiosidad por las cosas surge
por la actualización de las necesidades de nuestros alumnos; necesidades,
no solamente físicas o intelectuales sino también operativas
en el pensamiento para buscar soluciones a las dudas que se reflejan en
focos concretos de las situaciones propuestas.
Esta etapa subraya el carácter cualitativo
del aprendizaje. El respeto al niño es obligación permanente
para que su originalidad y creatividad tome forma en las estrategias de
construcción del concepto o relación. Y es en esta etapa,
más que en ninguna otra, donde el educador pondrá a prueba
el dominio que tiene sobre el tema. Un domino sin el cual se perderá
fácilmente.
Etapa de Enunciación. El lenguaje, que
desempeña un papel fundamental en la formación del conocimiento
lógico-matemático, se convierte muchas veces en obstáculo
para el aprendizaje. Los niños no comprenden nuestro lenguaje.
Si partimos de nuestras expresiones les obligaremos a repetir sonidos
no ligados a su experiencia. Estas expresiones darán lugar a
confusión y se verá aumentada la complejidad para la comprensión
de los conceptos y la adquisición de otros nuevos. Por esto,
llegados al punto en que el niño ha comprendido a partir de la
generación mental de una serie de ideas expresadas libremente
con su particular vocabulario, se hace necesario enunciar o simbolizar
lo que ha comprendido, respecto a la nomenclatura o simbología
correctas: los convencionalismos. Este es el objetivo de esta
etapa: poner nombre o enunciar con una correcta nomenclatura y simbología.
Por ello, la etapa anterior es de exagerada importancia y debe tener
su particular evaluación para no considerar intelectualizado
todo lo que en ella se ha visto, sino todo lo que en ella, ciertamente,
se ha intelectualizado.
En esta etapa, se puede orientar al sujeto
de esta forma: "Eso que tú dices ... se dice...", "Eso que tú
escribes como... se escribe...", "Lo que tú llamas... se llama...",
"Lo que tú expresas de la forma... se expresa...", "Lo que tú
indicas con... se indica..." (...)
Etapa de Concretización. Es la etapa en
la que el educando aplica, a situaciones conocidas y ejemplos claros
ligados a su experiencia, la estrategia, el concepto o
la relación comprendida con su nomenclatura y simbología
correctas. Se proponen actividades similares a las realizadas para que
el alumno aplique el conocimiento adquirido, y evaluar en qué
medida ha disminuido el desafío presentado en la situación
propuesta en la etapa de Elaboración.
Etapa de Transferencia o Abstracción.
Etapa en la que el niño aplica los conocimientos adquiridos a
cualquier situación u objeto independiente de su experiencia.
Es capaz de generalizar la identificación de una operación
o concepto y aplicarlo correctamente a una situación novedosa,
tanto en la adquisición de nuevos contenidos, como en la interrelación
con el mundo que le rodea. En muchas ocasiones, no se puede estudiar
después de la etapa de Concretización; se confundiría
con ella y su independencia como etapa no sería significativa.
Existen niños que reproducen, sin dificultad alguna, formas de
figuras inmediatamente después de haberlas trabajado, y, sin
embargo, muchos de ellos no reconocen esas formas en los objetos del
entorno en el que desenvuelven su actividad cotidiana, unos días
más tarde. Se puede decir, que estos alumnos no han asimilado
la relación o conjunto de relaciones trabajadas con anterioridad
sobre el concepto. Si esto ocurre, el educador revisará la preparación
de las etapas anteriores y su actuación en ellas, desde una investigación-acción.
La etapa más difícil para
el educador es la etapa de Elaboración y, sin embargo, debe ser
la que le resulte más fácil al educando. Las etapas presentadas
no se pueden ver como cuatro pasos distintos sino como un todo
ligado en el PROCESO DIDÁCTICO. Las características de la
actuación del educador y su incidencia en la actuación del
niño de estas edades se pueden resumir de la siguiente manera:
El/la profesor/a tiene que...
Observar las respuestas de los niños sin esperar
la respuesta deseada.
Permitir, mediante y ejemplos y contraejemplos, que
el niño corrija sus errores.
Evitar la información verbal y las palabras correctivas:
"Bien", "Mal", o formulaciones con la misma finalidad.
Respetar las respuestas, conduciendo, mediante preguntas,
el camino de investigación que ha propuesto el sujeto.
Enunciar y/o simbolizar la relación, estrategia,
estructura lingüística o procedimiento que se estén
trabajando con la nomenclatura correcta, después, y sólo
después, de su comprensión.
El/la niño/a tiene que...
Ver su trabajo como un juego.
Dudar sobre lo que está aprendiendo.
Jugar con las respuestas antes de escoger una de ellas.
Tener la completa seguridad de que no importa equivocarse.
Conquistar el concepto; luchar por su comprensión.
Dar explicaciones razonadas.
Trabajar lógica y matemáticamente.
Transferir los conocimientos adquiridos a otras nuevas
situaciones.
La fiabilidad de lo que el profesor/a enseña
se corresponde con la validez de lo que el alumno/a es capaz de crear.
Por eso, llamaremos avance didáctico a lo que consiga obtener un
mayor rendimiento con un menor esfuerzo.
BIBLIOGRAFÍA
DIENES, Z.P. (1977): Las seis etapas del
aprendizaje de la matemática. Barcelona. Teide.
FERNÁNDEZ BRAVO, J.A. (1995a): Didáctica
de la matemática en la educación infantil. Madrid. Ediciones
pedagógicas.
FERNÁNDEZ BRAVO, J.A. (1995b): Las
cuatro etapas del acto didáctico. Revista Comunidad Educativa,
núm. 228
RUSSELL, B. (1988): Introducción
a la Filosofía de la Matemática. Barcelona. Paidós.
