Ponencia presentada en el Congreso Internacional "La lógico matemática en educación infantil" organizado por la Asociación Mundial de Educadores Infantiles, Madrid, España, Abril de 2006.

La preparación de esta ponencia ha sido apoyada, en parte, por una subvención de la Fundación Nacional para la Ciencia (BCS-0111829) y por la Fundación Spencer (200400033). Las opiniones expresadas en este texto son exclusivamente las de los autores y no reflejan necesariamente la posición, política o apoyo de la Fundación Nacional para la Ciencia o la Fundación Spencer.

Durante el siglo veinte, los psicólogos llegaron a conclusiones dramáticamente distintas sobre:

1. Cambios en la visión convencional sobre la naturaleza de los conocimientos informales de los preescolares.

Como si se tratara de un péndulo, la visión convencional de las competencias numéricas y aritméticas de los niños pequeños ha oscilado desde ser extremadamente pesimista hasta ser extremadamente optimista y de nuevo hasta el punto intermedio.

Durante casi todo el siglo, los psicólogos han tenido una visión pesimista y se han centrado en lo que los niños no pueden hacer.

Los niños pequeños son tan matemáticamente ineptos que "se gana muy poco trabajando la aritmética con ellos antes del 2º grado, aunque hay muchos hechos aritméticos que los niños pueden memorizar en el primer grado (p.198)".

Los puntos de vista relativamente pesimistas de Piaget sobre las habilidades y capacidades de los niños pequeños tuvieron el efecto de limitar las expectativas sobre lo que podían aprender y lo que se les podía enseñar. Por ejemplo, el creía que los preescolares estaban en la etapa pre-operativa y que eran incapaces de pensar lógica y sistemáticamente o de construir conceptos abstractos (por ejemplo, el verdadero concepto de número o la comprensión de la aritmética).

Las visiones pesimistas de los teóricos sociales reforzó el enfoque minimalista de la enseñanza de las matemáticas en la infancia temprana.

Por ejemplo, en sus respuestas a la encuesta sobre prácticas de instrucción de Juanita Copley (Universidad de Houston, 2004), algunos educadores infantiles contestaron cosas como:

Hasta hace poco, estas respuestas reflejaban la actitud más común en nuestra cultura sobre la enseñanza de las matemáticas a los niños en edad preescolar. Además de, tal vez, hacer que los niños memorizaran la secuencia de conteo, los nombres de los números escritos, como el tres y el cuatro, algunos datos aritméticos y los nombres de formas geométricas simples, los padres, educadores, editores y los medios en general, prestaban poca atención a la enseñanza de las matemáticas en esta edad.

En los últimos años del siglo 20, los psicólogos adoptaron un punto de vista extremadamente optimista y se centraron en lo que los niños pueden hacer (Gelman, 1979).

Por ejemplo, Wynn (1998) señalaba: "Las investigaciones realizadas en los últimos 20 años han demostrado que los niños pequeños son sensitivos al número (p.5) Específicamente, ella afirmaba que los niños nacen con una habilidad para reconocer y distinguir entre uno, dos y tres, y que incluso pueden razonar sobre, y operar con, números muy pequeños (por ejemplo, reconocer que un objeto sumado a otro nos da dos y que dos menos uno es uno), todo esto antes de que desarrollen la competencia para contar verbalmente.

De hecho, Gelman (ejemplo, Gelman & Meck, 1992), afirmaba que los niños están dotados de forma innata con los principios del conteo - principios que les permiten contar de forma no verbal (utilizando etiquetas o representaciones no verbales) y que los niños pequeños pueden aprender rápidamente los nombres de los números y cómo usarlos en actividades de conteo.

Puntos de vista. Hay algunas investigaciones realizadas en los últimos 10 años que nos indican que los nativistas como Wynn (1992, 1998) pueden haber sido demasiado optimistas y que se necesita una visión más equilibrada de los conocimientos informales de las matemáticas de los niños.

Si los nativistas están en lo correcto y los niños nacen con un concepto innato y no verbal del uno al tres, no tendrían dificultad para realizar tareas numéricas y aritméticas no verbales que utilicen estos números "intuitivos".

Hay que observar que Shytiesha formó correctamente un conjunto cuando el conjunto del examinador consistía de uno o dos objetos.

Sin embargo, ella colocó cuatro objetos cuando el conjunto del examinador era de tres o cuatro objetos. Es decir, que para ella los conjuntos de tres y cuatro son equivalentes.

La actuación de Shytiesha nos ilustra algo que ya hemos observado: La actuación numérica de los niños pequeños decrece dramáticamente cuando se trata de conjuntos de más de dos objetos.

Es decir, parece haber un hueco entre su habilidad para manejar 1 objeto, 2 y 3, o números mayores. Los nativistas predecirían que el fallo estaría entre el 3 y el 4.

Observen que esta tarea, a diferencia de la anterior, requiere que el niño se haga una representación mental de el conjunto que le muestra el examinador, porque el lo va a ocultar después de mostrarlo durante 3 segundos.

Observen que Shytiesha ha recreado correctamente el conjunto del examinador cuando se trataba de uno o dos objetos.

Observen que se equivocaba al decir que el conjunto del examinador, de cuatro objetos es de "tres" y que luego ella coloca cuatro objetos sobre la mesa.

Observen que nuevamente coloca cuatro objetos cuando el conjunto del examinador era de tres.

Para Shytiesha, la palabra "tres" no parece tener el mismo significado que para un adulto. Al parecer, ella utiliza "tres" cuando quiere decir "muchos".

Tarea 3: "Juego del escondite doble" (Representación mental y producción no verbal de dos colecciones).

Observen que Shytiesha ahora llama a el conjunto de cuatro "montón", asi que cuatro objetos son un "montón" y "tres" son muchos.

Observen que Shytiesha dice sobre el conjunto de 4 objetos; "Es lo mismo" (que el conjunto de 3). "Es un montón". Así que nuevamente, ella considera tres y cuatro objetos como equivalentes (como muchos).

No solamente se empeora la actuación entre 2 y 3, la zona en que los niños pequeños se sienten cómodos se sobrepasa mucho más rápidamente de lo que predecían los nativistas.

Dowker (1997, 1998, 2003) identificó tres niveles de competencia aritmética mental entre los niños de la escuela primaria, niveles que también se pueden aplicar a la competencia numérica (Baroody, Benson & Lai, 2003):

La zona de competencia (familiaridad y comodidad) en la que los niños pueden determinar la respuesta exacta bien por cómputo o de memoria, o en el caso de un conjunto de objetos pueden reconocer visualmente y especificar el valor (total) cardinal del conjunto.
La zona de competencia próxima (familiaridad moderada y comodidad) en la que los niños pueden usar la información existente para calculare la respuesta o, en el caso de un conjunto pueden aproximarse razonablemente al valor cardinal de el conjunto.
La zona de incompetencia (falta de familiaridad e incomodidad) en la que los niños se "derriten" (es decir, intentan adivinar la respuesta o se niegan a responder).

Observen que para las pruebas con el 3 y el 4, Haley simplemente respondió colocando todos los objetos disponibles (es decir, se "derritió" y no intentó dar una respuesta exacta o aproximada.

En las primeras pruebas (1 & 1 y 3 & 2) observen la importancia de etiquetar un conjunto con una palabra numérica ("uno" y "dos") que sirven de ayuda a la memoria.

En la segunda y tercera prueba (3 & 2 y 2 & 4) Haley no reproduce exactamente el 3 y el 4 pero al menos hace una buena aproximación. Observen que llama al 4 "tres" que parece querer decir "muchos" para ella.

"Juego del escondite doble" (Producción no verbal de dos colecciones) - continuación

Observen que para la última prueba (4 & 3), Haley miró las dos colecciones del examinador y afirmó "Esta (el conjunto de 3) es como la otra (el conjunto de 4), es decir, para ella 3 y 4 son equivalentes y ambos son "muchos".

Observen que casi se "derrite" y termina por poner sobre la mesa casi todos los objetos disponibles (7 de 8).

Observen que Haley intenta resolver el problema. Al parecer, ella reconoce que las dos colecciones deberían tener "muchos" pero solamente le queda un objeto para el segundo grupo, así que pide prestados 4 fichas de la primera colección para representar "muchos" en la segunda, dejando entonces tres fichas ("muchos) en la primera colección.

14. Un niño de dos años crea correctamente un conjunto de pares colocando dos dinosaurios.

15. Cuando le mostramos 4, el niño coloca todos los objetos disponibles ("se derrite").

Estas investigaciones que acabamos de comentar tienen las siguientes implicaciones educativas importantes.

La enseñanza (y la evaluación) deberían tener en cuenta el nivel de desarrollo de los niños en general y sus niveles individuales de competencia, competencia parcial o incompetencia en particular. Para poder asegurar que los factores externos se conjugan con los internos en la promoción del aprendizaje significativo (Dewey, 1963) los maestros de preescolar deben estar conscientes de que lo que puede representar un grupo "grande" varia de niño a niño y que este factor interno clave puede incluir números muy pequeños y puede sobrepasarse fácilmente.

2. Cambios en el conocimiento convencional sobre la base de los conocimientos informales previos sobre el número y la aritmética de los preescolares.

Como un péndulo, la información convencional sobre el papel del lenguaje en el desarrollo numérico también ha fluctuado de un extremo a otro durante los últimos 100 años (ver Mix, Sandhofer & Baroody, 2005, para una discusión detallada).

Dewey (1989) y Thorndike (1922) concluyeron que la enseñanza inicial en matemáticas de los niños debería centrase en enseñarles a contar.

b. El punto de vista del concepto numérico no verbal antes del concepto verbal

Durante la mayor parte del siglo 20, los psicólogos han creído que el concepto de número se desarrollaba independientemente del conteo o antes de que los niños adquiriesen una comprensión de los números verbales.

· Piaget (1965), por ejemplo, desechó el conteo verbal y de objetos como una habilidad aprendida por repetición, habilidades que no tienen impacto alguno en la construcción de un concepto numérico. Según él argumentaba, la construcción de un concepto numérico dependía del desarrollo y síntesis de las habilidades de pensamiento lógico para clasificar y ordenar.

· Los Nativistas han argumentado que los niños tienen un concepto innato no verbal de al menos los números intuitivos.

Concepto de número (reconocimiento del número verbal). El uso de las primeras palabras de conteo ("uno", "dos", "tres") mientras se muestran ejemplos y no ejemplos de cada uno pueden ayudar a los niños a construir un concepto confiable y exacto de los números uno, dos y tres y una comprensión de lo que es cada uno. Al ver ejemplos de pares··, DD, y ^o o todos marcados como "dos" los niños pequeños pueden reconocer que la apariencia de los objetos en los conjuntos no es importante (la forma y el color son irrelevantes al número). El ver ·, ···, D, DDD,

, y

(que no son ejemplos de pares) marcados como "no dos", o con otra palabra numérica, puede ayudar a los niños a definir los límites del concepto de "dos" y aplicar más exacta y selectivamente esta palabra.

Conteo significativo de objetos. El reconocimiento de los números verbales también puede servir de base al conteo significativo de objetos o la enumeración. Una vez que los niños pueden reconocer significativamente y nombrar pequeñas colecciones, el uso de esta habilidad conceptual de reconocimiento, junto con la observación de la enumeración hecha por otros niños puede ayudar a los niños a entender el porqué y el cómo se hace. Específicamente, el reconocimiento significativo de números verbales puede ayudar a los niños a discernir el propósito de la enumeración (es otra manera de determinar el número total de objetos en un conjunto o su número cardinal) y la importancia de los procedimientos de enumeración (es decir, porque se enfatiza o repite la última palabra numérica utilizada en el proceso de enumeración: porque representa el número total de objetos o el valor cardinal de el conjunto).
Concepto (gran idea) de descomposición y composición. El reconocimiento de los números verbales también permite a los niños ver dos como uno y uno y tres como dos y uno o como uno y uno y uno - como un conjunto compuesto de unidades o como un todo compuesto de partes individuales (Freeman, 1912). Estas experiencias nos proporcionan la base para la comprensión fundamental de "la gran idea" de descomposición y composición
Suma. La comprensión fundamental de la descomposición y composición también nos proporciona la base para construir una comprensión básica de las relaciones parte-todo que forman parte del concepto de suma. Por ejemplo, al sumar un objeto a un conjunto de dos artículos, un niño puede ver literalmente que el conjunto original se ha transformado en un conjunto todavía mayor, de tres. Esto nos puede proporcionar la base para construir un cambio informal en el concepto de suma.

La implicación educativa clave es que el ayudar a los niños a desarrollar la habilidad para reconocer verbalmente los números intuitivos (del 1 al 3)marcando los ejemplos y no ejemplos es la base fundamental de la instrucción matemática y debe hacerse antes de intentar enseñar al niño a contar objetos.

Otra implicación educativa fundamental es que los maestros deberían centrarse en ayudar a los niños a descubrir y comprender las grandes ideas - ideas clave de muchos conceptos y procedimientos.

Como Paulos (1991) aconsejaba, "hay que remarcar algunos principios básicos y dejar casi todos los detalles en manos del alumno" (p. 7) Si los estudiantes comprenden las grandes ideas, la mayoría de ellos podrá redescubrir o reinventar los principios, propiedades y procedimientos de la aritmética y la geometría básicas incluyendo los procedimientos para renombrar, los principios conmutativo y distributivo y las fórmulas.

El comprender las grandes ideas puede ayudar a los alumnos a comprender la razón de ser de métodos específicos (por ejemplo, procedimientos y fórmulas), adaptarlos para resolver nuevos problemas o tareas (adaptabilidad) y ver cómo varios conceptos y procedimientos se relacionan entre sí. Esto puede ayudar a los estudiantes a ver que las matemáticas son un sistema de conocimiento, lo que a la vez puede ayudar a aprender distintas ideas y procedimientos.

Por ejemplo, las grandes ideas de la composición - las partes se pueden combinar (componer) muchas veces de diferentes maneras para formar un todo y la descomposición. El todo consiste de partes que se pueden separar (descomponer) muchas veces, de diferentes maneras, forman parte de varios aspectos o tópicos de las matemáticas:

Por ejemplo, una o dos partes son menores que el todo y este es mayor que cualquiera de sus partes.

Por ejemplo, en el problema que sigue, o en la ecuación 4 + ? = 6, la parte que falta debe ser menor que el todo de 6 y cuando se sume a 4 nos debe dar 6.

Georgia tenía 4 vestidos. Su mamá le compró algunos más. Georgia encontró 6 vestidos en su armario. ¿Cuantos vestidos le compró su mamá?

Por ejemplo, para 6-4=?, el todo de 6 menos la parte 4 es igual a la otra parte, que si la sumáramos a 4 nos daría 6, es decir, 6-4=? Está relacionada a la expresión 4+?=6 y, porque si 4+2=6, la parte desconocida es 2.

Por ejemplo, para 37 + 28, el niño tiene que poder reconocer que la suma de las unidades que da quince se puede descomponer en 10 y 5 y que ese 10 lo podemos añadir a los tres 10 y dos 10 que tenemos en la columna de las decenas.

Por ejemplo, un cuadrado que se puede descomponer en dos triángulos isósceles y viceversa.

Ejemplo de una actividad de composición y descomposición: El juego de los números.

Este juego lo pueden jugar de dos a seis niños. Se coloca una carta en el centro con un número como el 13. Se pone una pila de cartas numeradas del 1 al 10 boca abajo y cada jugador saca seis cartas de la pila. Por turnos, los jugadores deben colocar sus cartas de tal modo que puedan conseguir una suma igual al número que hay en la carta del centro.

Si un jugador tiene las cartas 2, 3, 5, 5, 5, y 8, puede combinar 5 y 8 ó 3, 5 y 5 para sumar 13. Como cada solución correcta vale 1 punto, el jugador puede conseguir dos puntos en un turno. Si el jugador ha elegido combinar 2+3+8 ya no le queda otra combinación que pueda hacer y solamente conseguiría 1 punto en su jugada.

Otra manera de jugar es dar puntos por el número de partes usadas para llegar a la solución, es decir 3+5+5 y 5+8 ganarían 5 puntos porque se han usado 5 cartas y 2+3+8+ ganaría 3 puntos porque se han usado 3 cartas.

Otro ejemplo de una actividad de composición - descomposición: Tres en raya

Cada jugador saca seis cartas de una pila de cartas numeradas del 1 al 10 y colocadas boca abajo. En las 9 casillas del tablero hay números escritos.

Los jugadores abren sus cartas y por turnos colocan sus cartas para formar una suma igual a uno de los números escritos en el tablero. Si un jugador lo consigue, coloca una ficha en el cuadro que ha resuelto, deja las cartas que ha usado y saca nuevas cartas de la pila. El objetivo del juego es colocar tres fichas en raya.

Uso de jeroglíficos egipcios para explicar la descomposición y representar valores

Hay que pedir a los alumnos que encuentren de cuántas maneras se pueden combinar los dígitos 1, 2 y 5 para formar un numeral de tres dígitos. Preguntarles si 152, 215, 251, 512 y 521 representan el mismo número que 125 (Whitin & Wilde, 1992). Hay que repetir la pregunta usando jeroglíficos egipcios. Luego, podemos discutir las similitudes y diferencias entre los números arábicos y los jeroglíficos egipcios.