EL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO
Conferencia de Apertura del «1º Congreso
Mundial de Matemáticas en E. I.»
José Manuel Serrano
González-Tejero
Universidad de Murcia
INTRODUCCIÓN
Cuando hablamos de pensamiento lógico-matemático,
en términos generales, se entiende que hacemos referencia
a las matemáticas o al conocimiento matemático
y, aunque es cierto que las nociones matemáticas suponen
una de las posibles formas de pensamiento lógico-matemático,
no es menos cierto que este reduccionismo del pensamiento
lógico-matemático al conocimiento matemático,
es un craso error.
Cualquier epistemología, y la epistemología genética
de Jean Piaget no puede sustraerse a ello, se encuentra abocada
a considerar el problema de la bipolaridad del conocimiento.
En efecto, sabemos que muchas proposiciones alcanzan su valor
de verdad o falsedad sin recurso a la constatación
empírica y sólo pueden ser alcanzadas por deducción.
Por el contrario, podemos encontrar otro gran conjunto de
proposiciones en las que esos valores están mediatizados
por la posibilidad de constatación empírica
de los hechos a los que se refieren y sólo pueden
ser alcanzadas por inducción. Este planteamiento parece
conducir a una irreductibilidad entre estos dos conjuntos
de verdades y cualquier teoría del conocimiento se
va a ver abocada a responder al problema entre la relación
de estas dos formas de conocimiento: el conocimiento lógico-matemático
(verdades normativas) y el conocimiento físico (verdades
fácticas).
Para poder dar solución a este problema Piaget postula
la necesidad de una continuidad funcional entre la vida y
el pensamiento, porque para el eminente epistemólogo
suizo “si los problemas biológicos y psicológicos
son solidarios, ello se debe a que el conocimiento prolonga,
efectivamente, la vida misma, de tal forma que la asimilación
biológica… se prolonga en una asimilación
intelectual”[1]. Esta continuidad entre lo biológico y lo psicológico
queda asegurada por una propiedad intrínseca a todo
tipo de organización vital: la acción, mecanismo
a través del cual el organismo entra en contacto con
el entorno, lo asimila y «actúa» sobre él
transformándolo. Ahora bien, como no existe «acción» sin «reacción»,
Piaget se ve en la necesidad de utilizar el término interacción para
designar las relaciones entre el individuo y lo real.
En el proceso de interacción sujeto↔objeto
tenemos, por tanto, tres elementos (sujeto), (↔) y (objeto). El primer elemento de la terna, es
decir, el sujeto, es el conocedor y el conocimiento lo puede
extraer del propio sujeto (metacognición), de la interacción
con el objeto (cognición o conocimiento lógico-matemático)
o del objeto (cognición o conocimiento físico).
De esta manera la apropiación de los saberes y de
los contenidos específicos de las matemáticas
es una forma de conocimiento lógico-matemático,
pero, evidentemente, no es la única posible.
Hecho este breve preámbulo, vamos a comenzar a desarrollar
una forma de conocimiento lógico-matemático
que conocemos como «aritmética», así como
sus relaciones e implicaciones con otra forma de conocimiento
lógico-matemático que denominamos «lógica».
Desde que vieron la luz los primeros trabajos
piagetianos sobre la construcción del número y, muy especialmente,
desde la aparición en 1941 de la Genèse du nombre chez l'enfant con la propuesta
de la indisociabilidad cardinal-ordinal del número
y los subsecuentes trabajos de esta obra pionera, han proliferado,
a partir de la década de los «60» y hasta
el momento actual, las investigaciones sobre los orígenes
del número o, si se prefiere, sobre la construcción
del número en el niño, tanto desde posiciones
de afianzamiento en el seno de la propia Escuela de Ginebra,
como de confirmación o de aceptación o refutación
parcial, pero siempre en el seno de la propia teoría
piagetiana, aunque se intenten integrar en la misma elementos
de otros modelos o teorías (postpiagetianos o neopiagetianos).
De hecho, desde 1960 hasta el momento actual, tenemos registrados
más de 200 artículos de investigación
sobre la conservación o la construcción del
número, gran parte de ellos publicados en revistas
de amplio impacto como Child Development, Developmental
Psychology, Journal of Experimental Child Psychology, Journal
of Educational Psychology, Journal for Research in
Mathematics Education, Arithmetic Teacher, Recherches
en Didactique des Mathematiques, Infancia y Aprendizaje, Estudios
de Psicología, etc., amén de otras tantas
revisiones, libros y capítulos de libro, lo que supone
cerca de una decena de millar de páginas dedicadas
al tema que nos ocupa.
Las investigaciones
que hemos venido desarrollando, desde 1980, sobre los componentes
cardinales y ordinales del número, ponen de manifiesto
que el número no es clase de relaciones
simétricas transitivas (empleando la terminología
de Russell, clase de clases) o, al menos, no sólo
es clase de clases, como proponen los cardinalistas, tampoco
hace referencia al encaje de relaciones asimétricas
transitivas o, al menos, no sólo es relación
de orden, como proponen los ordinalistas, aunque tampoco
podemos admitir la indisociabilidad cardinal-ordinal del
número, tal y como propone Piaget. Nosotros proponemos
la siguiente explicación funcional que puede ser tomada
a modo de definición:
«El
número es una de las doce categorías kantianas
reformuladas por Piaget que pertenece a la función
implicativa de la inteligencia y que, por lo tanto, tiene
como función la discretización del continuo
(asimilación del universo). Como todas las categorías
que permiten la adaptación del sujeto a su entorno,
se encuentra regulada por la función organizadora
de la inteligencia, lo que equivale a decir que es una totalidad independiente
del resto de las categorías, con un sistema
de relaciones que le es propio, unos fines específicos
y unos medios (valores) adecuados al logro
de esos fines».
Ahora
bien, la función implicativa o asimiladora de la inteligencia
es única y, por tanto, independencia, no significa
aislamiento, sino interacción. Nos encontramos por
tanto con una estructura cognitiva específica, con
un funcionamiento igualmente específico y que ejerce
una función interactiva con otras estructuras cognitivas
de las que depende el propio proceso de asimilación.
Esta
interacción determina que las estructuras o categorías
estructurales que configuran el proceso centrípeto
de la adaptación tengan un desarrollo más o
menos armónico y, por tanto, que desde una perspectiva
estadística «correlacionen» o «covaríen» entre
sí. Sin embargo, esta correlación trasciende
los límites estadísticos, porque estadísticamente
no puede existir independencia (ortogonalidad) y covariación.
La interpretación vendría dada en términos
de “independencia de organización”: un sistema de
relaciones característico, constituido por leyes específicas,
unas finalidades diferenciadas y unos medios (esquemas) diversificados.
Quizás por eso habría que ver esta situación
más en la línea, o desde el punto de vista,
de la “matemática ingenua”, como intersección
de conjuntos. De esta manera podríamos interpretar
nuestro estudio desde la perspectiva de un diagrama configurado
por tres conjuntos que representarían los tres elementos
configuradores del proceso de cuantificación en el
hombre: clases, relaciones (asimétricas) y número.
Utilizando
una terminología y una interpretación puramente
piagetiana, diremos que nos encontramos con las tres posibles
formas de equilibración cognitiva (asimilaciónÛacomodación), al menos en lo que hace
referencia a los procesos de cuantificación que
nos ocupan en este trabajo:
Por
un lado, tendríamos las equilibraciones internas de
los subsistemas numérico (3+5+6+7), de relaciones
simétricas (1+4+5+7) y de relaciones asimétricas
(2+4+6+7), que se corresponderían a la primera de
las formas de equilibración cognitiva descritas por
Piaget y que tienden a la constitución (por asimilaciones
sucesivas) y conservación (mediante acomodaciones
conseguidas) de estos sistemas.
Por
otro lado, tenemos las interrelaciones entre los tres subsistemas
que se encuentran reguladas por un sistema de asimilaciones
recíprocas, que conllevan sendas acomodaciones recíprocas
(zonas 4, 5, 6 y 7) y que tienden a la constitución
y conservación del sistema de cuantificación
humano y a su mutua conservación, lo que corresponderían
a la segunda de las formas de equilibración piagetiana.
Finalmente,
este sistema de cuantificación supone una organización
de todos los subsistemas que engloba, gracias a un conjunto
de transformaciones que implica un proceso doble. Por una
parte, un proceso de integración (con carácter
asimilador) de todos esos subsistemas en una estructura global
y, por otra, un proceso de diferenciación (con carácter
acomodador) de esa estructura global a las características
del medio, proceso que se lleva a cabo a través de
los propios subsistemas y que correspondería a la
tercera de las formas de equilibrio cognitivo.
Aclaremos
esto con un ejemplo. Imaginemos que, ante un conjunto de
animales como el que se nos presenta en el cuadro siguiente,
se nos hiciera esta pregunta de cuantificación: «¿Qué hay
más, animales o perros?».
En
el momento en que procesamos la información que tenemos
ante nosotros (cuadro y texto) sabemos que lo que tenemos
que hacer es cuantificar, por comparación (“qué hay
más”), un conjunto de animales (de los cuáles
algunos son perros y otros son palomas), con una de sus partes
(el subconjunto de los perros). Como la estructura que determina
el sistema de cuantificación, coordina todos los subsistemas
cuantificadores de la realidad (intensiva, extensiva simple
y extensiva métrica), se establece que, de todos los
posibles esquemas que pueden dar solución al problema
y puesto que lo que se pide es la comparación del
todo con una de sus partes, de acuerdo con la teoría
de la economía del pensamiento[2],
la acomodación
más eficiente es realizada por la estructura de clasificación
(zona 1 del diagrama) mediante la utilización de
un esquema
de inclusión (el conjunto de los perros
está incluido
en el de los animales) y, como determina el subsistema de
cuantificaciones intensivas, puesto que el todo es mayor
(si los subconjuntos de que consta el todo son no vacíos)
o igual que la suma de las partes (si todos los subconjuntos
del todo menos uno son vacíos), es evidente que la
respuesta a la cuestión planteada al inicio es que hay
más animales que perros (puesto que el subconjunto
de las palomas de nuestro ejemplo es un subconjunto no
vacío).
Imaginemos
ahora que ante este conjunto que sigue la pregunta es: «¿Qué hay
más, perros o palomas?».
En
esta nueva situación lo que se pide es la comparación
de las partes entre sí, por lo que el proceso de cuantificación
intensiva se torna inútil ya que, como hemos dicho,
sólo puede funcionar en el caso de la comparación
del todo con las partes; por tanto sólo cabe la utilización
de un proceso de cuantificación extensiva y, dada
la disposición espacial de los elementos a comparar,
el proceso no parece requerir la utilización de un
esquema cuantificador que requiera la iteración de
unidades. Es evidente que la solución al problema
planteado, para lograr la acomodación más eficiente,
es el proceso de cuantificación extensiva simple.
La
unidad funcional de conducta (esquema) que permite la solución
más eficiente al problema planteado es, sin lugar
a dudas y dada la disposición espacial de los elementos
en nuestro ejemplo, el esquema de correspondencia uno-a-uno:
como hay algunos elementos del segundo conjunto (palomas)
que no tienen imagen en el primer conjunto (perros) podemos
concluir que hay más palomas que perros.
Ahora
bien, el esquema de correspondencia unívoca o biunívoca
es una unidad funcional de conducta que posibilita el recurso
a la construcción de las clases[3] y,
por esta razón, habría que ubicarla en el
seno de ese conjunto (confrontar diagrama).
Sin
embargo, el esquema de correspondencia uno-a-uno, es también
un esquema numérico por cuanto, por ejemplo, contar,
es, entre otras cosas, establecer una correspondencia biunívoca
entre unas palabras (numerales) y unos objetos, por lo que
podríamos decir que el esquema de correspondencia
uno-a-uno supone la necesaria coordinación de los
subsistemas de número y clase (zona 5 del diagrama).
Imaginemos,
finalmente, que nuestros perros y nuestras palomas se distribuyen
de la siguiente manera:
Si
la pregunta vuelve a ser ahora, «¿qué hay
más, perros o palomas?», al tener que
comparar las partes entre sí, debemos recurrir a un proceso
de cuantificación extensiva, pero ahora parece más
eficiente un proceso iterativo, es decir un proceso de cuantificación
extensiva métrica. Quizás, de nuevo en aras
de la eficiencia del proceso, el esquema de conteo sea
el más adecuado para darle solución al problema.
Ahora
bien, el esquema de conteo supone, tanto la utilización
de un esquema de correspondencia biunívoca (objetos-numerales),
como el establecimiento de un orden estable en los numerales
(primero el 1, luego el 2, luego el 3, etc.), por lo tanto
se requiere la coordinación de los tres subsistemas
de número, clase y orden (zona 7 de nuestro diagrama
de conjuntos).
Llegados
a este punto, hemos de decir que aunque, aparentemente y
por los ejemplos que acabamos de proponer, la coordinación
de esquemas, necesaria para la constitución de un
sistema cuantificador en el hombre, supone la integración
de los mismos (afirmación), esta misma coordinación
supone también la exclusión (negación)
mutua de algunos esquemas. Esta negación se podría
matizar bajo dos aspectos diferenciados: negación
por pertinencia funcional o negación
por pertinencia material.
La
negación por pertinencia funcional se produce siempre
entre los esquemas pertenecientes a un subsistema y las coordinaciones
entre esquemas de este subsistema con otro(s) subsistema(s),
es decir (cf. el diagrama en círculos anterior), la
negación por pertinencia funcional, por ejemplo,
de 1 es 4, 5 y 7 (4 T 5 T 7 = 1'). En efecto, si tomamos
el primero de nuestros ejemplos, para dar respuesta a la
cuestión: «¿qué hay
más, animales o perros?» no resulta ‘funcional'
contar los animales y luego los perros para determinar que
el cardinal de los primeros es mayor que el cardinal de los
segundos, incluso aunque el razonamiento conduzca a, una
vez contados los perros, suspender el funcionamiento del
esquema de conteo por llegar a la conclusión de que,
al seguir contando, el cardinal de los animales va a ser
mayor y, por tanto, hay más animales que perros. Es
evidente que el esquema de inclusión ‘niega funcionalmente'
al esquema de conteo.
La
negación por pertinencia material se produce o entre
esquemas pertenecientes a diferentes subsistemas (por ejemplo,
en nuestro diagrama de círculos tendríamos
que 1' = 2 T 3) o entre esquemas del mismo subsistema de
naturaleza no reductible por conducir a acomodaciones diferentes.
En efecto, tomemos dos esquemas de cuantificación pertenecientes
al «subsistema número», que hemos designado
como (3) en nuestro diagrama de círculos, como, por
ejemplo, la aprehensión inmediata (subitizing)
y la estimación. Si tratáramos de coordinar
estos dos esquemas veríamos que no existe posibilidad
material alguna de hacerlo.
En
primer lugar, porque se orientan a acomodaciones diferentes,
el primero conduce a la determinación del cardinal
exacto de un conjunto de pocos elementos, concretamente un
máximo de 7±2, que decía George A.
Miller en su conferencia inaugural pronunciada ante la Eastern Psychological Association,
y el segundo es una flexibilización de los esquemas
cuantificadores numéricos que conduce a la determinación
grosera del cardinal de un conjunto numeroso. En efecto,
imaginemos un ejército numeroso en el que caminan
delante tres soldados. Si se nos pide que cuantifiquemos
el número de soldados que tiene el ejército
a fin de preparar una carpa de alojamiento, no es posible
aplicar el esquema de aprehensión inmediata por el
tamaño del conjunto a evaluar y, como la valoración
del cardinal del conjunto de los soldados no requiere una
medida exacta aplicaríamos un esquema de estimación.
En
segundo lugar, y por lo anteriormente apuntado, no es posible
encontrar una ley de composición entre ambos esquemas
[no olvidemos que la coordinación de
esquemas es un nuevo esquema que enriquece a los preexistentes
por la ley que los coordina: por ejemplo, la coordinación
de esquemas aditivos y multiplicativos hace que el pensamiento
sea distributivo: a.(b+c) = a.b+ a.c].
Muchos chistes, propios de la ingeniosidad latina, se encuentran
basados en establecer una ley de composición sobre
unidades funcionales de conducta no coordinables. Así,
en el caso anterior, si consideráramos el conjunto
del ejército subdividido en dos subconjuntos (los
tres soldados que van delante y los restantes) y tratáramos
de encontrar una ley de composición, como podría
ser una ley aditiva de carácter unidimensional (+),
llegaríamos al siguiente retruécano: ¿De
cuántos soldados está compuesto el ejército?.
De tres mil tres, porque delante vienen tres y detrás
unos tres mil. Es, por tanto, evidente que el esquema
de estimación ‘niega materialmente' al esquema
de aprehensión súbita o inmediata.
Finalmente,
hemos encontrado en algunos trabajos y estudios previos que,
en las primeras edades, el número (evidentemente,
siempre hablamos del número natural, que es la primera
y única extensión numérica alcanzable
a estas edades) es más un instrumento de cuantificación de
la realidad que de cualificación de la misma.
En
un primer momento, y a falta de la constitución
de un sistema de relaciones diferenciado, la organización
del pensamiento lógico-matemático del sujeto
se presenta como una totalidad «caótica» constituida
por unos esquemas indiferenciados (medios) desde el
punto de vista de los fines (lo que podríamos
definir como etapa de indiferenciación de esquemas).
Paulatinamente
se va produciendo una diferenciación de medios y fines que
obliga a recurrir a la utilización de dos sistemas
de relaciones diferentes e independientes que, por
tanto, no pueden llegar a coordinarse en una estructura
de conjunto (en una única totalidad), lo
que supone que los conjuntos tengan unas cualidades diferenciadas,
desde una perspectiva operatoria y funcional: cualidades
numéricas
y cualidades no numéricas (lo que podría
ser asumido como una etapa de diferenciación de esquemas
sin integración).
Por último,
el niño irá dotando a su pensamiento lógico-matemático
de la movilidad suficiente (sistema de relaciones)
para organizar la información que extrae de su acción
sobre la realidad en un sistema de conjunto (totalidad)
con unos medios y unos fines determinados
pero puestos siempre al servicio de la discretización
del medio (etapa de integración de los esquemas en
un sistema de conjunto) para interpretarlo de forma coherente,
efectiva (equilibración) y cada vez más
eficiente (economía del pensamiento).
Esto
supone la posibilidad de elaborar un modelo funcional que,
interpretado mediante un diagrama de flujo, sería
el siguiente:
y
vendría a confirmar, a grandes rasgos,
las tres formas de equilibración cognitiva descritas
por Piaget.
Sin
embargo, y aunque las relaciones de equivalencia se mantienen
para ambos tipos de cualidades, la numerosidad de un conjunto
no es considerada como una ‘cualidad física' del mismo,
como lo puede ser el tamaño, el color, la textura,
etc. De esta manera, y aún admitiendo que un conjunto
A es igual que un conjunto B e igual que un conjunto C porque
todos tienen el mismo número de elementos, los pequeños
niegan la posibilidad de que se puedan poner en el mismo
grupo porque todos ellos «se parecen en la cantidad»;
utilizando la terminología de Russell, no admiten
la ‘clase de las clases' que tienen el mismo número
de elementos, al menos, no al mismo nivel que admiten la
clase de los perros como ‘clase de las clases' de perros
de distintas razas, o la clase de los pequeños como ‘clase
de las clases' de diferentes figuras geométricas pequeñas.
Utilizando una terminología piagetiana, «el
número presenta una alta resistencia a ser clasificado».
Tampoco
se encuentra el número especialmente vinculado,
en estas primeras edades, a la «idea de orden» y,
por tanto, a una noción intuitiva de seriación.
En nuestras experiencias hemos podido constatar que la «noción
de tamaño», como en el caso de la clasificación,
se refiere a cualidades físicas de los objetos o de
los conjuntos de objetos, nunca al «tamaño numérico» de
los conjuntos. El número, como relación de
orden, parece tener un fuerte componente temporal, quizás
vinculado al lenguaje, de manera que los niños llegan
a comprender que el «cuatro» ‘precede' al «cinco» (4 " 5; 4 se dice antes que 5)
y, más tardíamente, que «cuatro» ‘es
menor' que «cinco» (4 < 5).
Por
lo tanto, desde la perspectiva de un modelo de equilibración
lógico-matemático a nivel de observables
( I B ),
podríamos concluir que las dificultades en la conservación
de número vienen dadas por las resistencias de este
ente para ser organizado desde la perspectiva de las relaciones
simétricas (clases) y de las relaciones asimétricas
(orden):
Por
el contrario, los componentes incluidos en el proceso de
cuantificación extensiva, simple o métrica,
son elementos de gran relevancia a la hora de explicar la
construcción del número en el niño,
quizás, porque, como decía Marcel Boll en
su Histoire des Mathématiques:
"A la suite d'une longue et pénible evolution… l'homme a fini par se
rendre maître de deux techniques, qui font désormais
partie de son «équipement mental»: l'appariement
et le recensement[5]".
Sin
embargo, aunque admitamos que el emparejamiento (correspondencia
biunívoca) y el recuento (enumeración o conteo)
son esquemas más o menos específicos de los
procesos de cuantificación extensiva, no podemos
olvidar que la correspondencia es solidaria de las clases
y que el conteo, por ejemplo, es un esquema de correspondencia
dotado de un orden[6]. ¿Cómo
es posible, entonces, que afirmemos que los esquemas de clase
y orden no tengan una excesiva relevancia para explicar el
constructo número?.
Nuestra
impresión es que las asimilaciones que el sujeto realiza
o, expresado en otros términos, las discretizaciones
que el sujeto efectúa del continuo son asimilaciones
estáticas (en el sentido kantiano del término)
y, si tenemos en cuenta que relación cuantitativa
y número son categorías dinámicas de
la función implicativa de la inteligencia, es fácil
comprender que los pequeños realizan asimilaciones
deformantes de la realidad, lo que les conduce a acomodaciones igualmente deformantes;
es decir, existen disfunciones acomodadoras, porque existen
disfunciones asimiladoras.
Sin
embargo, a partir de lo que Pierre Gréco denominó conservación
de la cotidad, el número es un instrumento cognitivo
para la comparación de conjuntos a fin de determinar
su posible equipotencia. Esto coincide, en el ámbito
de las clases y de las relaciones asimétricas a una
pérdida del componente espacial y objetal (lo estático
de la acomodación) y a una ganancia de lo temporal
y lo causal (lo dinámico de la acomodación).
Este
sentido dinámico es fácil de captar, ya que
el tiempo es el espacio en movimiento y la causalidad la
dinámica del objeto. Expresando de forma más
concreta esta afirmación podríamos decir que
la creciente movilidad de los esquemas del sujeto hace que
se alcance un suficiente nivel de descentración y
se pueda pasar de lo estático del proceso de adaptación
(estados) a lo dinámico de este proceso (transformaciones),
con lo que la acción cobra una importancia capital
para extraer información (pensamiento lógico-matemático)
a la hora de conferir un significado a la realidad. Conocimiento
físico y conocimiento lógico-matemático se
constituyen así en un eje bipolar para interpretar
el mundo.
Esta
coordinación de lo estático y lo dinámico de
la función de adaptación hace que
la correlación existente entre los procesos de cuantificación intensiva y extensiva tenga
connotaciones causales.
Implicaciones educativas.
Como
decíamos con anterioridad, las investigaciones sobre
la construcción del número y, muy especialmente,
aquellos trabajos sobre la construcción del número
en base a la integración de habilidades, han sido
muy prolíficas y han dado lugar a la aparición
de muchos modelos interpretativos, fundamentalmente a partir
del último cuarto de siglo que acaba de concluir.
En efecto, los trabajos de la Escuela de Ginebra durante el tercer cuarto
del siglo precedente (1950-1975) y el impacto de Piaget
en los Estados Unidos de América en el último
tercio de esa misma centuria, especialmente en las décadas
de los «70» y de los «80», junto
con la aparición de las teorías del procesamiento
de la información, dio paso a un conjunto de propuestas
integradoras entre ambas concepciones y modelos teóricos
que, bajo el nombre de neopiagetianas, posibilitaron y abrieron
el camino para numerosos y fructíferos trabajos acerca
de la construcción del número a lo largo del último
cuarto de siglo que acaba de concluir.
Sin
embargo, estos descubrimientos altamente enriquecedores
para la psicop8edagogía de las matemáticas no han
llevado aparejados avances isomórficos en la práctica
docente y el desfase investigación-praxis se hace
cada vez más patente en nuestras aulas, de manera
que hemos llegado a cotas de rendimiento escolar en esta
disciplina que empiezan a ser muy preocupantes y que, en
definitiva, lo que suponen es que la mayoría de los
alumnos no alcanzan niveles adecuados de comprensión
matemática. En este sentido Eduardo Martí concluye
en un trabajo sobre psicopedagogía de las matemáticas
financiado por la Dirección General
de Investigación Científica y Técnica
del Ministerio de Educación y Ciencia que, en nuestro
país, el 86% de los alumnos de 13 años no alcanza
el nivel de comprensión matemática correspondiente
a su edad. Dentro del mismo orden de cosas, el informe Pisa
de 2004 revela que un 20% de los alumnos de secundaria no
son capaces de resolver con éxito un problema aritmético
básico y las evaluaciones realizadas por el INCE muestran
que el 50% de nuestros escolares no llegan a alcanzar en
Matemáticas la nota media exigida. Además,
las puntuaciones en matemáticas son las más
bajas de todas las materias, tanto si nos referimos a Educación
Primaria, como a la Educación Secundaria Obligatoria.
En
los estudios comparados, se comprueba que, aunque esta
materia presenta una gran dificultad para los niños de todos
los países, los escolares españoles se encuentran
en la cola mundial y sólo superamos a Sudáfrica,
Colombia, Irán, Portugal, Grecia, Lituania y Chipre
y, aunque esto es anecdótico, en las últimas
Olimpiadas Internacionales de Matemáticas, sólo
superamos en puntuación a portugueses e irlandeses.
A
pesar de las críticas que este tipo de estudios internacionales
de carácter transcultural suelen tener y de las múltiples
interpretaciones a las que están sujetos, no se puede
refutar el hecho de que los escolares españoles se
encuentran por debajo de la media de los países
de la OCDE y que, como postulan expertos en este campo “sus
puntuaciones en matemáticas son escandalosamente bajas”.
Ante esta situación, las preguntas sobre ¿cuándo?, ¿cómo?
y ¿por qué? se inicia este fracaso, son inevitables.
Seymour
Papert se preguntaba si a los alumnos a los que se les
enseñó álgebra
durante un primer curso aprendían mejor la geometría
del curso siguiente que aquéllos que durante ese primer
curso se limitaron a hacer gimnasia. Ante la respuesta negativa
a la pregunta se planteaba una nueva cuestión: “¿cabe
identificar y enseñar algo distinto del álgebra
o de la geometría y que, una vez aprendido, facilite
el aprendizaje del álgebra o de la geometría?”.
Nosotros efectuaríamos una traslación y de
la pregunta y la haríamos de otra forma: ¿Hay
que ‘enseñar matemáticas' a los niños
o hay que hacer que ‘piensen matemáticamente'? y si
la respuesta la encontramos en el segundo término
de la disyunción, entonces cabría una segunda
cuestión: ¿qué supone hacer que los
niños ‘piensen matemáticamente'?.
El
conocimiento lógico-matemático
El
conocimiento lógico-matemático (o si se prefiere,
con las salvedades introducidas al principio, el conocimiento
matemático) tiene sus peculiaridades que deben
ser conocidas para poder entender los mecanismos de su adquisición
y, de esta manera, elaborar las estrategias más oportunas
para su enseñanza. Pero también tiene características
que comparte con otros tipos de conocimiento (físico,
social, etc.) que deben incorporarse al proceso de enseñanza
y aprendizaje en estas etapas iniciales de la escolarización.
Pero ¿qué es
este tipo de conocimiento que hemos venido denominando
como conocimiento
lógico-matemático?.
Sabemos
que lo real se presenta ante el sujeto como un continuo
que tiene que interpretar, lo que equivale a decir
que le tiene que conferir un significado, por ello
interactúa con
el medio intentando descomponer y recomponer ese
continuo a fin de «conocerlo».
Las
unidades (funcionales) de conducta mediante las cuáles
el sujeto interactúa con su entorno reciben el nombre
de «esquemas». Un «esquema» es una «forma» que
se aplica a un «contenido» (sin lugar a dudas,
que el contenido puede ser otro esquema e incluso el mismo
esquema)[7]. Los esquemas
actúan en tres niveles que se corresponden con los
tres niveles de equilibración cognitiva descritos.
Por un lado, los esquemas se aplican sobre la realidad
o sobre representaciones de la realidad y, en su caso,
sobre los propios esquemas:
Es
evidente que en este proceso de interacción el sujeto
sólo puede extraer información de dos elementos:
la acción y el objeto. Pues bien, la información
que el sujeto extrae del objeto recibe el nombre de conocimiento
físico y la información que extrae
de su acción sobre el objeto recibe el nombre de conocimiento
lógico-matemático.
Imaginemos
un conjunto de canicas de colores que se encuentran dispuestas
de la siguiente manera:
podemos
decir que este conjunto está formado
por una canica roja, una canica amarilla y una canica azul.
Pero ¿quién es roja? o ¿quién
es amarilla? o ¿quién es azul?. Evidentemente
las canicas. Esta es una información que está en
el objeto y que yo extraigo del mismo: el conocimiento de
los colores es un ejemplo de conocimiento físico.
Situémonos,
de nuevo, en el mismo conjunto anterior y tratemos de determinar
el número de canicas que tiene el conjunto. Contamos
las canicas comenzando, por ejemplo, por la roja y terminando
por la azul:
diremos que el cardinal del conjunto es tres,
es decir, hay tres canicas.
Pero
imaginemos que empezamos por la roja y terminamos por la
amarilla:
diremos, entonces, que el cardinal del conjunto
es tres, es decir, hay tres canicas.
Sigamos
imaginando. Supongamos que empiezo a contar por la azul
y termino por la roja:
diremos,
ahora, que el cardinal del conjunto también
es tres, es decir, hay tres canicas.
Imaginemos
las seis variaciones posibles (3!) a la hora de contar el
conjunto formado por una canica roja, una canica azul y una
canica amarilla. Llegaremos a la conclusión de que
sea cual fuere el orden en el que se cuenten los elementos
del conjunto siempre obtenemos por resultado ‘tres', por
tanto, «el cardinal de un conjunto parece ser independiente
del orden en que se cuenten sus elementos».
Esto,
indudablemente, es “conocimiento” pero este conocimiento
no lo he extraído de la realidad sino de mi acción
sobre la realidad, de mi «acción de contar la
realidad»[9].
La irrelevancia del orden en el conteo es un conocimiento
lógico-matemático.
Las
actividades encaminadas a lograr este primer nivel de equilibrio
(entre el sujeto –esquemas- y el objeto –propiedades-) comenzarán
siempre partiendo de un modelo I B (como
el descrito en el capítulo anterior) y tratando de disminuir
la resistencia del objeto a la aplicación del esquema.
Una técnica posible (entre otras muchas) es poner
al sujeto en situación forzada mediante un problema
de carácter, generalmente, dicotómico. Por
ejemplo, imaginemos que le damos a un niño, que se
encuentra en la etapa de intuiciones simples (4 años,
aproximadamente), un conjunto de elementos formado por figuras
geométricas (cuadrados, triángulos y círculos)
de dos tamaños (grandes y pequeños) y tres
colores distintos (rojos, azules y verdes). Si, una vez reconocidas
las características de los elementos que va a manipular,
le pedimos que ponga en marcha un esquema de clase (relaciones
de semejanza/equivalencia) a través de una consigna
comprensible para el sujeto (supongamos que entiende perfectamente
lo que quiere decir “pon juntos los que se parecen”), el
pequeño podría hacer tres montones: cuadrados,
triángulos y círculos (criterio forma).
Si,
a continuación, le decimos: “Está muy bien,
pero ahora intenta hacerlo de otra forma, es decir, no vale
poner juntos los cuadrados, los círculos y los triángulos”.
Teniendo en cuenta que el ‘criterio color' es un criterio
que, genéticamente hablando, presenta una dificultad
similar al ‘criterio forma', será muy probable que
la ejecución del sujeto consista en destruir los tres
montones anteriores y volver a realizar otros tres montones,
pero esta vez teniendo en cuenta el color: rojos, azules
y verdes. Por estar a nivel de intuiciones simples, aunque
los criterios forma y color los maneja con una aceptabilidad
que raya en lo operacional, no puede manejar simultáneamente
ambos criterios (carácter aditivo o unidimensional
del pensamiento que, en términos piagetianos, equivaldría
a decir «centración») y, por
eso, a la hora de discretizar el continuo que se le presenta,
es imposible que considere a la vez, la forma y el color
(por eso se ve obligado a destruir la realizado y comenzar
de nuevo la ejecución, a partir de otro criterio).
El
residuo del razonamiento transductivo de los sujetos
(propio de la etapa preconceptual) hace que, en este
primer nivel de la etapa intuitiva, sus ejecuciones
estén dominadas por la ‘sucesividad inter-colecciones',
como durante la etapa anterior determinó la ‘sucesividad
intra-colecciones', es decir, ahora hay simultaneidad intra-colección
(inductividad) y sucesividad inter-colección (transductividad)[10].
Si,
por último, le pedimos que utilice el tercero de los
criterios (tamaño), diciéndole: “Está muy
bien, pero ahora intenta hacerlo de otra forma, es decir,
no vale poner juntos los cuadrados, los círculos y
los triángulos, como hiciste antes, ni los rojos,
los azules y los verdes, como has hecho ahora”. Es posible
que el sujeto rebuscara entre las distintas figuras geométricas
(como si tratara de encontrar un nuevo criterio) y finalmente
nos dijera: “no se puede”.
Ante
esta situación podríamos decir que nuestro
sujeto es capaz de organizar lo real desde la perspectiva
de «las semejanzas» utilizando los criterios ‘forma'
y ‘color', pero no con relación al ‘tamaño'
y, además, los criterios que es capaz de utilizar
no se coordinan entre sí.
Dadas
las características del pensamiento del pequeño
nos podríamos plantear dos objetivos:
a) disminuir
la resistencia que el criterio tamaño (Ro) presenta para poner en marcha esquemas de semejanza (As) con este criterio (Fs),
a fin de que pueda establecer colecciones en base al
tamaño (Mo); y/o
b) conducir
el pensamiento del sujeto hacia un modelo II B por
coordinación
de los observables en el objeto (forma y color) y en sus
acciones de clasificación de lo real (en base a
esos criterios).
En
el primero de los casos (encontrar y/o hacer operativo un
nuevo criterio), como reconoce el criterio ‘tamaño',
pero la ‘fuerza' de los criterios ‘forma' y ‘color' anula
su operatividad, deberíamos de partir de situaciones
en que los criterios ‘fuertes' no se encontraran operativos.
Por ejemplo, si dejamos constantes los criterios ‘forma'
y ‘color', utilizando un material compuesto sólo por
cuadrados rojos grandes y pequeños y le damos al sujeto
la consigna “pon juntos los que se parezcan, haciendo dos
montones”, lo más probable es que realice esos dos
montones, colocando en uno los “grandes” y en otro los “pequeños”;
aunque, si le preguntamos ¿por qué se parecen
los elementos de cada montón?, la respuesta vendría
dada en términos de ‘forma', “porque son cuadrados”,
y si, a continuación, le decimos “pero si todos son
cuadrados ¿por qué no los pones todos juntos?,
es casi seguro que nos diría “porque tú me
has dicho que haga dos montones”.
Si
partiendo de los dos montones que ha construido, vamos dándole,
de una en una, el resto de las figuras geométricas
en un índice de dificultad creciente (desde la perspectiva
de las relaciones de semejanza); por ejemplo, en primer lugar
un cuadrado grande azul (difiere en el color del último
elemento del montón de los cuadrados grandes), luego
un cuadrado verde pequeño (id. con relación
a los pequeños), seguimos con un círculo pequeño
verde (se asemeja en el color al último elemento pequeño
colocado), un triángulo grande azul (id. con relación
a los grandes), etc., diciéndole siempre: “y éste, ¿en
qué montón lo pondrías?” (si, en algún
momento, dijera que no se puede poner en ningún montón
porque no se parece a ninguno, se le diría: “bueno,
es igual, pero tú ponlo en uno, en el que mejor creas
que esté”).
Al
final de la tarea, el niño tendría dos montones,
los ‘grandes' y los ‘pequeños' y, si le preguntamos
en qué se parecen los elementos de cada montón,
es muy probable que nos diera la solución del tamaño.
De
la misma manera que hemos introducido la cualidad de tamaño,
tal y como hemos dejado reflejado en las Conclusiones de
este trabajo, deberíamos introducir la cualidad
número, a través de actividades similares.
Igualmente, al mismo tiempo que trabajamos las relaciones «más
que» / «menos que» o «mayor que» / «menor
que» con distintos criterios y cualidades físicas,
también deberíamos hacerlo con los criterios
de número y las cualidades numéricas establecidas
en los conjuntos. Esta «ordenación» también
se debería introducir a otras cualidades de lo real
(sonidos –más grave, menos grave-; colores –más
rojo, menos rojo-; etc.) porque todo es ‘seriable'.
De
hecho, en situaciones coloquiales, es fácil encontrar
momentos en los que se establece o se pide que se ‘serien'
cualidades de muy difícil ordenación porque
pertenecen a subconjuntos no compatibles, como afectos (“a
quién quieres más, a papá o a mamá”, “yo
quiero más a A que a B”), relaciones sociales (“A
es más amigo mío que B”), conductas socio-políticas
(“A es más demócrata que B”).
En
el segundo de los casos, (lograr la coordinación de
observables en el objeto y en la acción), partiríamos,
como hemos dicho de un modelo tipo II B[11]:
La
técnica a utilizar sería similar al primero
de los casos. Teniendo en cuenta que el criterio forma
parece predominante sobre el criterio color[12],
partiríamos
de la situación en la que el criterio abarcador tiene
menos cohesión interna[13] y
que era aquella en la que existían tres montones cuyos
elementos estaban agrupados según el ‘color' (rojo,
azul y verde) y le diríamos: “Estos (señalando
los rojos), ¿por qué se parecen?. Como ya nos
respondió con anterioridad, nos dirá: “Por
que son rojos”. Entonces se le dice: “Vamos a jugar sólo
con este montón (los rojos) y ahora vas a poner juntos
los que se parecen”. Teniendo en cuenta que el criterio forma
es muy dominante, no tendrá mucha dificultad en subdividir
la colección de los ‘rojos' en tres subcolecciones
(cuadrados, triángulos y círculos). Lo mismo
se le pedirá con los otros dos montones (los ‘azules'
y los ‘verdes'), de manera que tendremos tres clases (rojos,
azules y verdes), con tres subcolecciones cada una (cuadrados,
triángulos y círculos), lo que supone un inicio
en la coordinación de los dos criterios y un enriquecimiento
de los esquemas de clasificación que va a marcar la
posibilidad de tránsito de la subetapa de intuiciones
simples a la de intuiciones articuladas.
Esta
posibilidad de articulación de dos criterios, es decir,
del trabajo sistemático con dos dimensiones del
objeto, hace que el pensamiento, hasta ahora aditivo (acciones
interiorizadas sobre una única dimensión
del objeto), devenga en multiplicativo (acciones
interiorizadas sobre dos dimensiones del objeto, consideradas
de manera simultánea).
Es
fácil de comprender que, a partir de esta situación,
podríamos llegar a establecer la posibilidad de división
de los conjuntos establecidos bajo el criterio ‘forma', en
subconjuntos determinados por el criterio color, con lo que
diríamos que el pensamiento es conmutativo.
Notemos
que, cuando hemos llegado a esta situación, el sujeto
puede comenzar a trabajar con lo que Jean Piaget, Alina Szeminska
y Bärbel Inhelder denominaron clasificaciones multiplicativas[14] y correspondencia
múltiple, conducente a la multiplicación numérica[15],
de manera que puede llegar a resolver una situación
como la siguiente:
Sea
un conjunto de triángulos, cuadrados y círculos
sin pintar (color madera) y dos botes de pintura de dedos
(roja y azul). Si se pintan las figuras con los dos colores ¿cuántas
clases distintas se pueden formar?.
Si
multiplicamos (consideramos simultáneamente) tres(3)
clases de figuras geométricas por(x) dos(2) colores,
tenemos(=) seis(6) clases distintas; de las cuales tres(3)
son azules y(+) tres(3) rojas, o también(≈),
dos(2) están formadas por triángulos
y(+) dos(2) por cuadrados y(+) dos(2) por círculos.
3
x 2 = 6 = 3 + 3 = 2 + 2 + 2
El
segundo nivel de equilibrio se basa en las asimilaciones
y acomodaciones recíprocas entre dos esquemas. En
efecto, cuando dos esquemas (E1 y E2)
se aplican al mismo conjunto de objetos (O) o a conjuntos
de objetos de parecidas características
(O1, O2, …) es fácil -e incluso necesario- que el sujeto se plantee por qué dos
conductas distintas pueden aplicarse a elementos similares,
con lo que llegan a encontrar en esas conductas una parte
operativa común y entonces decimos que entre E1 y E2 se
ha producido una asimilación recíproca. Pero, al mismo tiempo,
encuentran (por el necesario equilibrio entre afirmaciones
y negaciones) una parte operativa no común y específica
de cada esquema con lo que decimos que se ha producido una
acomodación recíproca entre E1 y E2.
Cuando
este segundo nivel de equilibrio se alcanza decimos
que hay una coordinación
de esquemas.
Una coordinación de esquemas es un
nuevo esquema y por tanto, una nueva ley de composición “diferente” a
las anteriores, es decir a aquellas que determinaban los
esquemas de partida que se coordinan:
Continuando con nuestro ejemplo anterior, podemos decir que una vez constituidos
los esquemas aditivos y multiplicativos y adquirida la movilidad
suficiente, o si se prefiere, perdida la rigidez inicial
de los segundos[16], deben coordinarse,
con el fin de ir constituyendo y enriqueciendo el sistema
(la estructura) de cuantificación del sujeto. ¿Qué supone
la coordinación de esquemas aditivos y multiplicativos?.
Evidentemente, y por lo dicho con anterioridad un nuevo esquema
y, por tanto una nueva ley cognitiva. ¿Cuál
es ese esquema?, ¿cuál es la ley de composición
que lo caracteriza?, ¿qué supone para el pensamiento?
y, finalmente, ¿cómo podemos lograr que se
produzca la coordinación necesaria para su constitución?.
Imaginemos
que, sobre su ejecución anterior, le preguntamos a
nuestro pequeño: ¿Cuántas de las figuras
geométricas tienen puntas (vértices) y cuántas
no?. Al pintarlos de colores, ¿cuántos montones
tienen puntas y cuántos no?. Separa los que tienen
puntas de los que no las tienen.
Retomemos pues nuestra
disposición
multiplicativa anterior con una pequeña modificación:
Es evidente que hay dos(2) clases de figuras
con puntas y(+) una(1) sin puntas y si se pintan(x)
con los dos(2) colores que teníamos,
habrán(=) cuatro(4) clases de figuras con puntas
y(+) dos(2) sin puntas.
(2
+ 1) x 2 = 2 x 2 + 1
x 2 = 4 + 2 = 6
La
coordinación de esquemas aditivos y multiplicativos
hace que el pensamiento se dote de una nueva ley (ley
distributiva) por lo que decimos que, ahora, el pensamiento
es distributivo.
En
este orden de cosas no debemos olvidar que el algoritmo
vertical de la multiplicación que nosotros utilizamos se basa,
precisamente, en el carácter distributivo del pensamiento:
23
x 15 = 23 x (10 + 5) = 230 + 115 = 345
Finalmente, los esquemas constituidos se van integrando en
un sistema de conjunto (sistema de cuantificación humano) y los
esquemas se van “especializando” merced a un proceso de diferenciación por
la función de la estructura general (sistema) sobre
los elementos que lo componen. En este sentido, las actividades
de aprendizaje deben ir encaminadas en la línea del
conocimiento estratégico, fundamentalmente, al establecimiento
de estrategias de selección, a fin de determinar qué características
de lo real son relevantes (o más relevantes) para
solucionar el problema; estrategias de elaboración,
para determinar qué conocimientos previos están
disponibles y son concordantes con el problema planteado;
y estrategias de organización, a fin de conectar ‘lo
nuevo' con ‘lo viejo' y producir la solución más
adecuada al problema planteado. En este sentido, volvemos
a en contra la necesidad del equilibrio entre la asimilación
(que es cuestión de integración) y la acomodación
(que es cuestión de diferenciación).
Llegados
a este punto hemos de efectuar dos importantes aclaraciones.
En primer lugar, el hecho de que un sujeto adquiera o construya
un esquema aditivo, multiplicativo o partitivo, incluso
que su pensamiento sea distributivo, no quiere decir
que sepa sumar, multiplicar o dividir, en el sentido
aritmético
de estos términos. Lo que quiere decir es que posee
instrumentos cognitivos para iniciar, de alguna forma, el
aprendizaje de las operaciones aritméticas. En segundo
lugar, el hecho de que hayamos planteado actividades de aprendizaje
que han generado desarrollo (por ejemplo, pasar de las intuiciones
simples a las intuiciones articuladas), no indica, en modo
alguno, que nos situemos en una perspectiva vigotskiana frente
a una posición piagetiana[17].
Nosotros consideramos que el binomio aprendizaje/desarrollo
es un par dialéctico y no conferimos preponderancia
a ninguno de los dos polos del par[18].
En efecto, si hemos postulado una actividad de aprendizaje
que ha posibilitado el paso de las intuiciones simples
a las intuiciones articuladas, también acabamos de decir que el aprendizaje de la
suma y de la multiplicación requiere un cierto nivel
de desarrollo de los esquemas aditivos y multiplicativos,
respectivamente.
Los esquemas operatorios.
Hasta
ahora sólo hemos hecho referencia explícita
a la adquisición de los esquemas numéricos
desde la perspectiva de la función de adaptación,
es decir, como el equilibrio necesario entre la asimilación
y la acomodación, pero para el proceso de enseñanza
y aprendizaje es necesario estudiarlo también desde
la perspectiva de la función de organización puesto
que, para que el pensamiento pueda ponerse de acuerdo con
lo real, primero ha de estar de acuerdo consigo mismo.
Para
Piaget, el sistema cognitivo humano está constituido
por dos subsistemas: El subsistema I (que
es el sistema de «comprender» o «conceptual»)
y el subsistema II (que es el sistema de «saber
hacer» o «procedimental»), es decir que,
para Piaget, «conocer» es, indisociablemente, «comprender» y «saber
hacer». En efecto, en 1979, Piaget e Inhelder
introducen un nuevo par dialéctico en la teoría
del eminente epistemólogo ginebrino[19] vinculado
a la función reguladora de la inteligencia: estructuras versus procedimientos
o conocimiento declarativo versus conocimiento
procedimental. El conocimiento declarativo lo
constituyen los hechos, los conceptos y los principios[20], es generado
por un tipo de esquemas que Piaget denomina esquemas
presentativos y nos permite comprender las razones
(saber por qué). El conocimiento procedimental lo
constituyen los procedimientos, es generado por esquemas
procedimentales y nos permite saber hacer.
Las
características generales comparadas de estos dos
tipos de conocimiento son:
| Conocimiento declarativo |
Conocimiento procedimental |
| No está sujeto a variaciones espacio-temporales
(intemporal). Está dirigido a comprender las razones (saber por
qué). Necesita de comprensión cons-ciente, sobre
todo a partir del nivel operacional. Se desarrolla mediante encajes sucesivos (el conocimiento
supe-rado se integra en el que le su-pera). Consiste en lograr el enriqueci-miento cognitivo
encontrando le-yes de composición entre conoci-mientos
y estructuras anteriores. |
Está sujeto a variaciones espacio-temporales. Está dirigido a alcanzar un objetivo (saber
hacer). La comprensión consciente puede ser útil,
pero no necesaria. Se desarrolla mediante una cadena secuencial, sustituyendo
cada enlace al anterior, al menos parcialmente. Consiste en lograr el enriqueci-miento cognitivo
a través
de la variedad: alcanzar el objetivo por caminos
diferentes. |
Sin
embargo, aunque sólo existen dos subsistemas cognitivos (comprender
y saber hacer) y parece que ambos se encuentran dotados de
los instrumentos adecuados (esquemas presentativos y esquemas
procedimentales), es necesario recurrir a un tercer conjunto
de esquemas porque existe un conocimiento que es indisociablemente
declarativo y procedimental. Este tercer conjunto de esquemas
es nominado por Piaget con el nombre genético de esquemas
operatorios.
En
efecto retomemos nuestro ejemplo de las canicas y tratemos
de determinar el cardinal del siguiente conjunto mediante
la aplicación de un esquema de conteo:
Comenzaremos
con el punto inicial de la serie numérica e iremos
atribuyendo un numeral y sólo un numeral, de forma
iterativa, a cada uno de los elementos del conjunto, de forma
biunívoca, y diremos: “uno”, “dos”, “tres”, “cuatro”, “cinco” y “seis”.
Hay seis canicas.
Supongamos
que las canicas se disponen de la siguiente forma:
Es
muy probable que, ante esta nueva situación apliquemos
el mismo esquema, es decir, el esquema de conteo, pero que
esta vez, en lugar de contar siguiendo la serie de los números
naturales, lo hagamos siguiendo la serie de los números
pares: “dos”, “cuatro” y “seis”. Hay seis canicas.
Se
ha variado la ‘disposición espacial' de los elementos
y hemos ‘modificado' el esquema de conteo, la ‘manera'
de contar. Hemos utilizado el mismo esquema pero mediante
un procedimiento diferente.
¿Qué podríamos
decir del esquema de conteo?. Evidentemente, que se trata
de un esquema procedimental porque al variar la
disposición
espacial de los elementos, y en aras de su eficiencia, el
procedimiento de contar ha sido modificado, por tanto, está sujeto
a variaciones espacio-temporales; está dirigido a
alcanzar un objetivo (determinar el cardinal del conjunto);
la comprensión consciente de su ejecución
no es necesaria (lo importante es contar eficaz (correctamente)
y eficientemente (con rapidez); se desarrolla mediante
una cadena secuencial en la que los enlaces son sustituidos
de manera parcial (secuencia (n) vs. secuencia (2n); y,
finalmente, permite alcanzar el objetivo por caminos diferentes.
Sin
embargo, cuando hemos contado la primera de las series, hemos
dicho que hay seis canicas, porque hemos pronunciado
el numeral «seis», pero también hemos
pronunciado el numeral «cinco», y el «cuatro»,
y el «tres», etc.; entonces ¿por qué no
hemos dicho que hay «cinco», o «cuatro»,
o «tres»… canicas?. Igual ha ocurrido cuando
hemos contado la segunda de las series que hemos pronunciado
los numerales «dos», «cuatro» y «seis» y,
a pesar de ello, hemos afirmado que hay seis canicas y
no cuatro ni dos. Esto se debe a que hemos aplicado el principio
cardinal que viene a decir que “el cardinal
de un conjunto viene determinado por el numeral aplicado
al último elemento contado”. Esto es así, independientemente
de la disposición espacial de los elementos del conjunto,
por tanto, no está sujeto a variaciones espacio-temporales;
es necesaria su comprensión consciente; permite responder
a la pregunta ¿por qué hay seis canicas en
ese conjunto?, luego está destinado a comprender las
razones… Es por tanto un conocimiento declarativo (no en
vano lo denominamos «principio» cardinal), lo
que nos conduce, sin solución de continuidad, a
decir que el esquema de conteo es un esquema presentativo.
Pero, ¿cómo
puede un esquema ser, a la vez, presentativo y procedimental?, ¿cómo
puede generar, simultáneamente, un conocimiento
declarativo y procedimental?. La respuesta viene dada por
el hecho de que el esquema de conteo es un esquema operatorio.
Uno
de los problemas de la enseñanza en general, y de
las matemáticas en particular, es que el maestro tiende
a que el sujeto ‘sepa hacer', lo que equivale a decir que
se fija objetivos procedimentales descuidando los objetivos
declarativos, con lo que está castrando el sistema
cognitivo del individuo. Podríamos decir, parafraseando
la suprema ironía de d'Alembert, que su principio
guía de la enseñanza es: ”seguid haciendo,
el conocimiento vendrá después”[21]. Esta postura, si
en todas las disciplinas es un error metodológico,
en matemáticas es un problema de enorme dimensiones.
En efecto, puesto que los esquemas lógico-matemáticos
son operatorios, el trabajar desde una perspectiva procedimental
impide el desarrollo de los mismos ya que no son procedimentales
(aunque tengan un componente procedimental), lo que hace
que, desde muy tempranas edades, los esquemas lógico-matemáticos
se encuentren insuficientemente alimentados y como el conocimiento
declarativo que genera la parte presentativa del esquema
consiste, como hemos dicho, en lograr el enriquecimiento
cognitivo encontrando leyes de composición entre conocimientos
y estructuras anteriores, si estos conocimientos, esquemas
o estructuras no están disponibles, es evidente que
no es posible construir sobre ellos. Por lo tanto, el fracaso
está servido.
El
aprendizaje de la noción
de número.
Para
Kitcher, el conocimiento matemático no está constituido
desde el comienzo, y a priori, en cada generación.
En cada momento se aprende un cierto nivel matemático
que puede ser, y de hecho lo es, permanentemente modificado.
En ese desarrollo el conocimiento viene apoyado en una cierta
práctica que, para este autor, posee varios componentes.
En concreto dichos componentes son:
· un
lenguaje
· un
conjunto de proposiciones aceptadas por la comunidad
matemática en
un tiempo determinado…
· un
conjunto de cuestiones importantes, de problemas no
resueltos…
· un
conjunto de formas de razonamiento
· un
conjunto de visiones del hacer matemático, es decir, de cómo
se hacen matemáticas
Podemos
comprobar, sin caer de pleno en la historicidad[22], que
estos componentes que Kitcher sitúa en la filogénesis,
pueden ser trasladados, con todo derecho, a la ontogénesis.
En
efecto, en cada momento se adquiere un cierto nivel matemático
que está en continuo cambio. Por ejemplo, hemos
podido comprobar, en la macrogénesis, un
desarrollo que podría perfectamente responder a
la siguiente secuencia:
esquemas
aditivos Ò pensamiento aditivo conmutativo Ò generalización
de los esquemas aditivos Ò esquemas multiplicativos Ò pensamiento
multiplicativo conmutativo Ò coordinación
de esquemas aditivos y multiplicativos Ò pensamiento
distributivo Ò… Ò.
Analizando
el desarrollo de los esquemas de conteo, se puede comprobar
igualmente, pero ahora en la microgénesis,
una secuencia evolutiva: aplicación de palabras-número
(no tienen por qué ser numerales), sin ningún
tipo de orden, a los objetos (uno, tres, doce, nueve, “veinticatorce”,
seis…) Ò aplicación de numerales, sin ningún
tipo de orden, a los objetos (uno, tres, doce, nueve, siete…) Ò aplicación de numerales a los objetos en un orden
(sabe que unas palabras se dicen antes que otras) no estable
(uno, tres, seis, nueve, once…, aunque otras veces puede
decir: uno, dos, cuatro, nueve…) Ò aplicación de numerales a los objetos con un orden
estable que no responde a la cadena de los números
naturales (uno, tres, siete, nueve,… y si vuelve a contar
el mismo conjunto repite la misma serie: uno, tres, siete,
nueve,…) Ò aplicación de numerales a los objetos
con un orden estable que se corresponde con la cadena de
los números naturales (uno, dos, tres, cuatro, cinco,…)
pero que tiene carácter irrompible (siempre se empieza
a contar por el número ‘uno') Ò … Ò.
Este
conocimiento se apoya en cada momento, como acabamos de
comprobar, en un lenguaje determinado, de manera que
las ejecuciones correctas o incorrectas del sujeto
hemos de analizarlas desde la «historicidad ontogenética». Por ejemplo,
cuando le damos a un niño de cuatro años
(aproximadamente) una cantidad discreta compuesta, por
ejemplo, por un conjunto de siete fichas y le pedimos que
construya un conjunto más numeroso
que el que nosotros hemos construido es probable que su
ejecución
sea la siguiente:
Sin
embargo, si le pedimos que construya un conjunto menos numeroso
que el nuestro, podría realizar algo similar a esto:
Esto
nos aventuraría a decir, erróneamente, que
el sujeto sabe construir un conjunto menos numeroso que otro
dado, pero no construir un conjunto más numeroso
que otro.
Sin
embargo, si el sujeto aprende (también) por imitación,
sería muy difícil sostener esa afirmación
porque, en el lenguaje coloquial, la expresión «más
que» es comúnmente utilizada, mientras la expresión «menos
que» está prácticamente en desuso (nosotros
decimos: más alto-más bajo; más grueso-más
delgado; más largo-más corto…; y casi nunca
recurrimos a expresiones como menos alto, menos grueso, menos
largo…). Desde esta perspectiva parece más sensato
que el pequeño “aprenda antes” el significado del más que
el significado del menos (siquiera por las dificultades
en la construcción de las negaciones).
Supongamos
ahora que le damos un conjunto formado por tres elementos
y le pedimos que construya un conjunto más numeroso
que el que nosotros hemos hecho. El niño podría
hacer algo muy parecido a lo siguiente:
Pero
si ahora le decimos que, frente a nuestro conjunto de tres
elementos, ponga uno menos numeroso que el nuestro su ejecución
sería:
Siguiendo
con nuestras conclusiones disparatadas diríamos que
ahora es capaz de construir un conjunto más numeroso
que otro dado, pero no un conjunto menos numeroso.
Ninguna
de las dos conclusiones son correctas. El sujeto es “uno” y
no puede ser, a la vez, hábil e inhábil.
La realidad es la siguiente:
Los
términos «más» y «menos» tienen
un carácter objetivo (juzgue quien juzgue comparativamente
dos conjuntos homogéneos, el conjunto más numeroso
es mayor y… punto). Sin embargo, la dificultad de descentración
de los pequeños en estas edades hace que se subjetivicen
los términos del lenguaje, por eso el sujeto asocia
los vectores lingüísticos objetivos «más» y «menos» a
los escalares subjetivos «muchos» y «pocos» (lo
que para alguien es mucho, para otra persona puede ser poco,
lo que en un momento determinado puede ser mucho, en otro
momento puede ser poco…), de manera que cuando yo le doy
siete elementos y le digo que ponga más él
interpreta que yo he puesto muchas y que el tiene que poner
(más) muchas como yo. Cuando le digo que ponga menos él
interpreta que yo he puesto muchas y que le estoy pidiendo
que ponga (menos) ‘poquitas'.
Una
vez que sabemos lo que son ‘poquitas' para el pequeño
(3), le damos un conjunto de tres elementos (de pocas fichas,
utilizando su estimación) y le digo que ponga más
que yo. Entonces piensa que yo he puesto pocas y le pido
que ponga (más) muchas, por lo que coloca cinco fichas
que, en ese momento y para la realidad “fichas”, suponen
para él muchas. Por el contrario, cuando yo le doy
esas tres fichas (que son pocas para el niño) y le
pido que ponga menos interpreta lo siguiente: “Ha puesto
pocas y me dice que ponga (menos) poquitas como él”,
por lo tanto, pone también tres fichas.
Igualmente,
el conocimiento del sujeto se apoya en un conjunto de proposiciones
aceptadas por el pensamiento en un momento determinado
de la ontogénesis. En efecto, cuando ante la prueba de
conservación de las cantidades discretas que nosotros
hemos utilizado, le pedíamos a los sujetos que frente
a una colección de siete fichas pusieran las mismas
que nosotros y realizaban la siguiente ejecución:
no
es que realizara una ejecución
incorrecta, es que la proposición aceptada como verdad
para su pensamiento es que «dos colecciones que tienen
la misma longitud son iguales».
Siguiendo
la propuesta de Kitcher, el conocimiento matemático
se genera a partir de un conjunto de cuestiones importantes
y de problemas no resueltos; pero, ¡ojo!, de cuestiones
importantes para el sujeto (motivación) y de problemas
no resueltos por el sujeto pero que se encuentren, como diría
Vigotsky, en su zona de desarrollo próximo, es decir,
que se puedan resolver mediante procesos de equilibración
mayorante. Este componente determina los objetivos y contenidos
educativos en el proceso de enseñanza y aprendizaje
y justifica cualquier opción metodológica en
el seno del paradigma constructivista que garantiza, no sólo
la construcción de significados (cognición),
sino, además, la atribución de sentido (motivación).
El
conocimiento lógico-matemático necesita apoyarse
también en un conjunto de formas de razonamiento de
las que va a depender el tipo de este conocimiento y las
formas de su adquisición. En este sentido, a lo
largo del desarrollo, encontramos tres formas de razonamiento
a la hora de elaborar una construcciones mental, determinar
los contenidos intencionales de las acciones y conferir
un significado de lo real: razonamiento transductivo (que
va de lo particular a lo particular), razonamiento inductivo (que
va de lo particular a lo general) y razonamiento deductivo (que
va de lo general a lo particular).
Finalmente
Kitcher postula que el conocimiento matemático depende
de un conjunto de visiones del hacer matemático, es
decir, de cómo se hacen matemáticas. Las cuatro
grandes líneas básicas en el saber y en el
hacer matemático son las siguientes:
· Constructivista: que
emana de Brouwer y, fundamentalmente, de Kant y que
supone aceptar que son las entidades reales las que,
al permanecer o transformarse, provocan el pensamiento
matemático y, al hacerlo, obligan a la construcción
de formas y estructuras que tratan de captar, de alguna manera,
los procesos reales y provocan la construcción de
modelos posibles de esa realidad.
· Empirista: que
tendría a Mill como máximo
exponente y que se plantea la cuestión de cómo
se alcanza el conocimiento y cómo se enlaza la matemática
con lo real (enlace que se estima como algo más
que un mero accidente).
· Logicista: que
teniendo a Frege como autor más
representativo y que se apoya en el proceso demostrativo
a partir de unos contenidos de pensamiento puro y se plantea
la necesidad de unas conceptografías básicas,
diferentes del lenguaje natural, para la expresión
del “hacer matemático”.
· Formalista: apoyada
en el poder del signo y de lo ideográfico,
y que se plasma en los procesos algebraicos, en el «Análisis» de
Euler y Lagrange, en los principios de permanencia de leyes
formales, en el inscripcionismo sígnico de Heine
o Thomae y que culmina con el formalismo finitista de Hilbert.
Las
nociones matemáticas deben ser, por tanto y por este
orden, constructivas (provocando el pensamiento matemático),
empíricas (enlazando siempre el contenido matemático
con la realidad circundante al sujeto), lógicas (diferenciando
lo real de la acción, el mundo físico del pensamiento,
el lenguaje natural del guaje matemático) y formales
(sostenidas por sistemas de representación específicos
y por la permanencia e invarianza de las leyes cognitivas
que son, en último lugar, de naturaleza lógico-matemática).
Teniendo
en cuenta todas estas cuestiones y el hecho de que nuestro
trabajo haya puesto de manifiesto el componente cualitativo
del número en todo su desarrollo anterior a la conservación
de la «cotidad» y, por tanto, la necesidad de
utilizar actividades numéricas cualitativas, previas
a cualquier estado de cuantificación, en el proceso
de enseñanza y aprendizaje del número en Educación
Infantil y de manera equivalente a otras “cualidades no numéricas” (como
el color, el tamaño, etc.), así como qué esquemas
y qué coordinaciones de esquemas resultan más
relevantes para la adquisición del número,
podríamos proponer un ejemplo de aprendizaje de las
nociones numéricas que, a grandes rasgos, podría
ser el siguiente:
Tomemos
un conjunto de seis parejas idénticas de animales,
cada pareja de un color distinto y de un tamaño
tal que cada uno de los animales pueda caber en un cubo
de 4 cm. de arista.
Tomemos
también doce cubos de 5
cm. de arista y con el borde pintado del mismo color
que los animales, de modo que a cada pareja de animales le
corresponda una pareja de cubos con el borde pintado del
mismo color que los animales (a una pareja de animales amarillos,
le corresponden una pareja de cubos con su borde pintado
de amarillo...) y tres recipientes de capacidad equivalente
a cinco de los cubos anteriores, dos de ellos idénticos
(A y A') y el tercero más estrecho y, por tanto, más
largo (B); con la condición de que si uno de los dos
recipientes idénticos (A o A') se encuentra lleno
(5 cubos de capacidad) y el segundo (B) sólo contiene
cuatro unidades (4 cubos de capacidad), la altura del líquido
es todavía ligeramente superior a la del recipiente
más ancho que se encuentra lleno.
A
continuación se presentarán al niño
cinco animales distintos, pidiéndole que dé a
cada uno de los animales un depósito de agua (cubo),
para ello podemos contarles un cuento cuya base esté en
la necesidad que los animales tienen de agua, incitándole,
de esta manera a llenar los depósitos con agua para
cada uno de los animales y con la misma cantidad para que
no se enfaden o discutan sobre quién tiene más
agua (se utilizará un recipiente con el borde pintado
del mismo color que la piel del animal). Una vez realizada
esta primera actividad se realizan preguntas de pertenencia
para reforzar la correspondencia (¿dónde está el
agua del…?, ¿de quién es el agua de este depósito?,
etc.), si presentaran alguna dificultad para establecerla
se les induce a que introduzcan cada animal en su depósito.
Luego,
se les pasa a contar una historia conducente a la necesidad
de constituir un «poblado», por lo que habría
que verter el agua de cada animal (cubo) en un gran depósito
(A). Realizada esta nueva operación se vuelve a interrogar
sobre la pertenencia del agua (¿dónde está ahora
el agua de …?) y más tarde sobre el número
de animales que pueden beber del depósito que pertenece
al «poblado» (si hubiera problemas para la cualificación
numérica se introducen los animales en el depósito),
haciéndole llegar a la conclusión que el «todo» formado
está compuesto por «cinco partes» y sólo
cinco.
A
partir de aquí se continúa con acciones de
adición y sustracción: y si viene un nuevo
animal ¿que tendrá que hacer para poder beber
del depósito del «poblado»?, y si se va
el… ¿qué tendrá que hacer para no
pasar sed?, etc.
Una
siguiente fase consistiría en constituir una situación
análoga que condujera a tener ante sí dos «poblados» idénticos: “Mira,
ahora vamos a dejar este «poblado» aquí y
haremos un nuevo «poblado» con animales idénticos
a estos”. Esto nos conducirá a tener dos depósitos
de cinco unidades de capacidad en cada uno.
Partiendo
de esta situación continuamos con una narración
que nos permita añadir o quitar unidades del depósito
preguntándoles siempre por la comparación entre
los depósitos de los dos «poblados», de
manera que su acción no entrará nunca en conflicto
con su percepción puesto que cuando se añaden
unidades aumenta el nivel del líquido en el recipiente
y cuando se retiran disminuye, pero nosotros le preguntaremos
siempre sobre el número de animales que pueden beber
agua de los recipientes. Por ejemplo, una vez retirado un
animal de uno de los «poblados», conservando
los cinco animales en el otro, preguntaríamos: ¿Cuántos
animales pueden beber en este «poblado» (A)? ¿cuántos
animales pueden beber en este otro (A')?, entonces ¿dónde
hay más agua, en este «poblado» (A) o
en este (A'), reiterando las preguntas iniciales; ¿cuántos
animales me has dicho que pueden beber aquí (A)? ¿y
aquí (A')?.
La
siguiente situación sería idéntica a
la anterior, pero pidiéndole el establecimiento de
la correspondencia, no sobre los elementos, sino sobre los
desplazamientos del líquido: “Si el… se lleva su agua, ¿hasta
dónde llegaría el agua del depósito?.
Pidiéndole siempre las razones: ¿por qué crees
tú que llegaría hasta aquí?.
Esta
situación de anticipación física, la
trasladaremos, inmediatamente, a una situación de
anticipación numérica: Y si el… se lleva su
agua ¿cuántos animales podrían beber
entonces del depósito?, ¿dónde estaría
el agua del…?.
Finalmente,
le contaríamos una historia que justificara que los
animales del poblado (A') van a llevar su agua a otro depósito
(B), con lo que, una vez trasladada, la altura alcanzada
es sensiblemente mayor. Entonces se le pregunta si hay más
agua en A o en B. Si la respuesta es B, se le interroga sobre
el número de animales que pueden beber en cada depósito
(si fuera necesario se introducirían los animales
en sus depósitos y se vaciaría el agua junto
con los animales, de manera que hubiera una percepción
del número de animales, al igual que la hay de la
altura del agua). Si sigue manteniendo que A < B se le
pide que anticipe cuántos cubos se podrían
llenar con el agua de A y cuántos con el agua de B.
Siempre se le pedirá que justifique su respuesta.
Como
la justificación vendrá dada siempre en términos
perceptivos, se le plantea una nueva situación en
la que se parte de los dos depósitos con las cinco
unidades. Se le vuelve a interrogar por la igualdad y, lógicamente,
seguirá manteniendo su posición de que A < B
por que en B “es más alto”. Entonces se le dice: “mira,
el animal… (del depósito B) se marcha y, por tanto,
se lleva su agua”, ¿cuántos animales pueden
beber de este depósito (A)? ¿cuántos
pueden beber de este otro?. Esta nueva situación hace
que entre en conflicto lo numérico y lo perceptivo
A5 > B4, pero AL es
todavía menor (menos alto) que BL. Si
se inclina por la solución numérica, se le dice, pero tú habías
dicho que “donde es más alto hay más”. Lo que
le lleva a situar la evaluación numérica en
su justa medida. Si todavía se inclina por la solución
de la altura, buscaríamos un nuevo recipiente en dónde
tuviéramos la misma situación pero en la relación
3 contra 5, es decir, A con cinco unidades y B con tres
unidades, pero la altura en B algo ligeramente mayor que
la altura en A.
De
esta manera seguiríamos procediendo hasta afianzar
la evaluación numérica (el número) como
un elemento fundamental a la hora de discretizar un continuo,
es decir, como instrumento de asimilación de lo
real.
Hasta
este momento hemos planteado siempre las actividades con
carta de naturaleza individual, pero nada está más
lejos de la realidad de nuestro pensamiento que postular
que el proceso de enseñanza y aprendizaje del número
y las nociones numéricas de base (como las de cualquier
otro contenido matemático o de otras áreas
curriculares) deba realizarse a partir de actividades individuales,
antes bien, todas las actividades deberían plantearse
según una estructura de tarea que favoreciera la interacción
entre iguales y la organización cooperativa del aula.
El proceso de interacción entre iguales es fundamental
para la adquisición del conocimiento y, tanto desde
planteamientos sustantivos y teóricos de carácter
general -bien sea desde la perspectiva de la Escuela de Ginebra (conflicto socio-cognitivo),
bien sea desde la perspectiva vigotskiana (zona de desarrollo
potencial)-, como desde planteamientos específicos
(investigaciones específicas en aprendizaje cooperativo)
se pone de manifiesto la rentabilidad de la interacción
entre iguales. En este sentido, una buena parte de nuestra
investigación se ha centrado en el trabajo cooperativo
en el aula, abarcando, tanto aspectos generales, como aspectos
aplicados al ámbito de la enseñanza de las
matemáticas.
Consideraciones finales.
La
elaboración de actividades de aprendizaje para la
adquisición del número y los esquemas lógico-matemáticos
de base, no es una tarea fácil, pero además,
el profesor se encuentra con una serie de limitaciones que
van desde su propia e inadecuada formación, hasta
defectos del sistema, pasando por tópicos erróneos
y tradiciones nefastas.
Comenzando
por estas últimas podemos observar que existe una
peligrosa tradición en la educación de no sistematizar
el proceso de enseñanza y aprendizaje, de manera que
se genera lo que César Coll denominó como un
problema de “opinionitis” y que es debido a la asistematización
del proceso instruccional. En efecto, cuando un ingeniero
explica cómo se construye un puente, un arquitecto
cuánto cemento se necesita para establecer el armazón
de un determinado edificio o un cirujano cómo se efectúa
una laringectomía, sólo otro técnico,
equiparable a él en conocimientos, opina sobre el
tema; esto se debe, sin lugar a dudas, a que la construcción
de un puente o un edificio, o la realización de una
determinada intervención quirúrgica, son procesos
altamente sistematizados. Sin embargo, cuando se habla de
instrucción, cada individuo es un maestro y se siente
con el derecho de decir, qué, cuándo y cómo
se debe enseñar un contenido instruccional a un
alumno determinado[23].
Esta
falta de sistematización se manifiesta, en primer
lugar, desde el comienzo del diseño instruccional,
con la definición del contenido objeto de instrucción.
Parece como si los profesionales de la educación dieran
por sentado que existe un acuerdo universal, y una definición
igualmente ecuménica, para todos los contenidos instruccionales.
Es algo así como decir: ¿qué es el número?,
pues el número es el número; ¿qué es
sumar?, pues sumar es sumar; etc. En segundo lugar, la falta
de sistematización se sigue produciendo a la hora
de la planificación de los contenidos. Por ejemplo,
es poco frecuente encontrar diseños instruccionales
que lleven incorporado una secuenciación lógica
o un análisis de tareas. En tercer lugar, cuando se
postula que “se parte de las ideas iniciales del sujeto”,
no se tiene en cuenta el nivel de desarrollo de los esquemas
implicados en la adquisición y construcción
de los contenidos, sino de los conocimientos académicos
que el sujeto ‘parece' poseer. De hecho las evaluaciones
se centran en las acomodaciones del sujeto (ejecución)
y nunca en las asimilaciones del sujeto (comprensión)[24]. En cuarto
lugar, las metodologías de intervención en
el aula o están desfasadas (parece como si las investigaciones
psicoeducativas no llegaran nunca a la situación real
del aula) o se encuentran desvirtuadas (por ejemplo, cuando
se dice que se está trabajando con una metodología
cooperativa, se observa una profunda confusión entre
el trabajo en grupo y el trabajo cooperativo).
Por último,
pocos diseños se insertan en un paradigma claro y,
cuando dicen insertarse en uno, es frecuente encontrar una
ausencia total o una interpretación errónea
de los principios paradigmáticos que lo configuran.
En este sentido, los profesionales de la educación
parecen presentar un acuerdo, casi unánime, acerca
de que el paradigma constructivista es el que mejor puede
dar cuenta de los procesos de enseñanza y aprendizaje
que se producen en las aulas; sin embargo, la realidad nos
permite constatar que el aprendizaje de los saberes seleccionados
por la cultura no constituyen una fuente de socialización
y de construcción de una identidad personal (lo que
contradice el primer nivel de jerarquía de la opción
constructivista que postula que los contenidos culturales
deben ser reconstruidos por cada individuo dando lugar a
un ser diferenciado y único en el contexto de una
determinada cultura y sociedad). Igualmente, encontramos
análisis efectuados desde la perspectiva de las relaciones
del profesor con los alumnos o de las relaciones del alumno
con los contenidos, incluso de las relaciones de los alumnos
entre sí, pero desde un posicionamiento constructivista
la unidad de análisis la constituye el triángulo
didáctico (profesor-alumnos-contenido) y esta unidad
de análisis es, en tanto que unidad, indisociable
(luego, tampoco desde los planteamientos del segundo nivel
de jerarquía de la concepción constructivista
se cumplen los planteamientos de los diseños instruccionales).
Finalmente, desde los posicionamientos constructivistas que
emanan del tercer nivel de jerarquía el aprendizaje
se entendería como un proceso de construcción
de significados sobre los contenidos escolares y de atribución
de sentido a esos mismos contenidos y al propio hecho de
aprender y no pensamos que esta sea la situación
por la que atraviesan nuestras aulas, por el simple hecho
de que, por ejemplo, el constructivismo utiliza el constructo
de esquema de conocimiento[25] para
referirse a los significados o representaciones que posee
una persona acerca de una parcela de la realidad y en un
momento determinado de su historia y, por tanto va a definir
la construcción de significados como un proceso de
revisión, modificación, diversificación,
coordinación y construcción de esos esquemas
de conocimiento, nada más lejos de lo que, en la realidad,
se está haciendo en las aulas.
En este sentido hemos
de tener en cuenta que, en el momento actual, la enseñanza
y el aprendizaje de las matemáticas desde la perspectiva
de un paradigma constructivista, es un deseo universalizado
que emana desde todas nuestras instancias educativas y que
intenta plasmarse tanto desde la perspectiva del macrodiseño
instruccional (esferas de decisión política),
como del microdiseño (escuelas y aulas). Sin embargo,
cuando nos acercamos a estos ámbitos de decisión
instruccional, en sus distintos niveles, nos encontramos
con planteamientos teóricos correctos pero de difícil
traducción al lenguaje del aula (el triángulo
interactivo constituye la unidad de análisis de los
procesos de enseñanza y aprendizaje) o con frases
grandilocuentes de difícil interpretación para
el maestro (en la construcción del conocimiento en
el aula hay que tener en cuenta el papel mediador de la actividad
mental constructiva del alumno). Desde esta perspectiva,
podemos observar en nuestras aulas “planteamientos constructivistas” que
ignoran la unidad lógica y psicológica del
triángulo interactivo, “metodologías constructivistas” que
ignoran la actividad mental del alumno o “análisis
de tareas constructivistas” en donde la estructura lógica
y psicológica de las matemáticas son profanadas
de la forma más impune que uno pudiera imaginar, etc.
Esto denota que, pese a la buena voluntad y al enorme esfuerzo
que desarrollan en su autoformación, nuestros maestros
no han sido formados para estar “a la altura del paradigma
constructivista”.
Otro handicap con
el que se suele encontrar el profesorado, sobre todo de
los niveles educativos inferiores es un conjunto de
tópicos
que desvirtúan el proceso de enseñanza y aprendizaje
desde una perspectiva logocéntrica. En este sentido,
cuando se habla de conocimiento lógico-matemático,
es frecuente encontrar en los manuales de Educación
Infantil expresiones que son «verdades a medias» (y
ya se sabe que la peor mentira es una verdad a medias) como,
por ejemplo, “el color es una característica de tipo
cualitativo o cualidad… (y) el número de objetos de
una colección es una característica de tipo
cuantitativo, o sea, se puede cuantificar o medir”. Pues
bien, si tenemos un ‘conjunto' o ‘grupo' de objetos (A) constituidos
por seis figuras geométricas rojas, otro ‘conjunto'
o ‘grupo' de objetos (B) constituido por cuatro figuras geométricas
rojas, y un tercero (C) constituido por seis figuras geométricas
azules, tenemos: A = B (haciendo abstracción de la
cualidad ‘número'); A = C (haciendo abstracción
de la ‘cualidad' color) y B = C (haciendo abstracción
de las ‘cualidades' color y número), de manera que
podríamos calcular la unión de A, B, y C
(A U B U C
= {figuras
geométricas}). De la misma manera A ≠ B (porque la ‘cualidad' número
difiere en ambos conjuntos); A ≠ C (porque la ‘cualidad'
color difiere en ambos conjuntos) y B ≠ C (porque, tanto la ‘cualidad' de número,
como la de color son diferentes). Es evidente, por tanto,
que la cualidad número es equiparable a la cualidad
color. En este sentido se puede decir que el número
tiene un carácter cualitativo.
Por
el contrario, la ‘cualidad' rojo puede ser «medida» (i.e.
longitudes de onda) y puede ser «ordenada» (ser
más rojo o ser menos rojo); por ejemplo no es extraño
escuchar expresiones tales como “estás más
rojo que un pimiento” que quiere significar que la persona
en cuestión tiene una intensidad de rojo en el rostro
mayor que la intensidad de rojo de un pimiento de ese color.
Todas las cualidades de los objetos son susceptibles de medida
(con algún tipo de instrumento y en algún tipo
de escala de medida), porque cualquier continuo en lo real
(la realidad es un continuo) es objeto de discretización
en la mente.
Otra serie de tópicos hacen referencia
a matizaciones, que no conducen a ninguna parte, como la
clásica distinción, que encontramos en numerosas
obras, entre conocimiento formal e informal, sobre todo en
el campo del conocimiento lógico-matemático.
Si nos paramos a reflexionar un poco nos daremos cuenta que
conocer es saber hacer comprendiendo las razones. Esto es
formal, diríamos que muy serio y muy formal, y eso
es conocer, nos guste o no. Pues bien, no es difícil
encontrar en la actualidad expresiones tales como: “los niños
de estas edades utilizan mecanismos informales para solucionar
situaciones problema que les planteamos en relación
con situaciones de recuento (utilización de los dedos,
movimiento de la cabeza) que poco a poco se formalizarán
mediante la utilización del número”. Pues bien,
la referencia a los objetos y/o al cuerpo, no supone, en
absoluto, la utilización de mecanismos o procedimientos
informales, sino mecanismos o procedimientos psicológicos
que dan cuenta del paso de la centración a la descentración
(utilizando una terminología piagetiana) o de la subjetividad
a la objetividad por el intermediario de la intersubjetividad
(utilizando una terminología vigotskiana).
En
efecto, admitamos o no el principio haeckeliano[26] de que
la ontogénesis recapitula la filogénesis, todos
los historiadores del pensamiento matemático están
de acuerdo en aceptar la existencia inicial de unos números
corporales. Estos números corporales comienzan
siempre, y de manera muy especial, centrados en los dedos
de la mano[27], lo que no parece
una situación caprichosa de los hombre primitivos
desde el momento en que, a partir de los trabajos iniciales
de Gerstmann y el posterior diagnóstico diferencial
efectuado por Kleist, sabemos que la acalculia va
siempre asociada a una agnosia digital, por lo que
estos autores llaman poderosamente la atención sobre
la correlación íntima existente entre el reconocimiento
de los dedos de la mano y las primeras adquisiciones del
cálculo. No es, por tanto, de extrañar que
los niños (como el hombre primitivo) «cuente
con los dedos» (no «cuentan los dedos»).
El
que los procedimientos iniciales de cálculo tengan
un origen neurológico no quiere decir, de ninguna
de las maneras, que sean procedimientos informales de cálculo.
Como no quiere decir que los conocimientos matemáticos
del hombre primitivo, por el hecho de tener un origen práctico,
fueran conocimientos matemáticos informales. Herodoto,
en un conocido pasaje de su Historia, decía:
“El rey de Egipto dividió el suelo del país
entre sus habitantes, asignando lotes cuadrados de igual
extensión a cada uno de ellos y obteniendo sus principales
recursos de las rentas que cada poseedor pagaba anualmente.
Si el río arrasaba una parte del lote de un habitante, éste
se presentaba al rey y le exponía lo ocurrido, a lo
cual el rey enviaba personas a examinar y medir la extensión
exacta de la pérdida y más adelante la renta
exigida era proporcional al tamaño reducido del lote”.
El
ladrillo con que el hombre primitivo construía sus
casas y sus tumbas, aportó la noción de ángulo
recto. El concepto de línea (y su nombre)
deriva de la forma de la fibra del lino. Otros muchos conceptos
matemáticos tienen su origen en movimientos (ya de
las danzas primitivas, ya del caminar de los astros en el
cielo…).
El
hecho de que la noción de proporcionalidad, a la que
hacía referencia Herodoto, venga de la necesidad de
aplicar una ley con justicia, la de ángulo recto de
un ladrillo, la de línea de una fibra textil, etc.,
no permite que nadie llame informales a los conocimientos
que debemos a aquellos que nos precedieron históricamente.
Otro
tópico que daña bastante el “hacer matemático” es
el de verdad absoluta (a las matemáticas se les llama
ciencias exactas). Dejemos que sean los propios filósofos
de la matemática los que nos desgranen esta cuestión.
En este sentido, Krieger postula un conjunto de afirmaciones
bastante esclarecedoras:
Los
teoremas matemáticos, dice Krieger, “son objetos interpretables
culturalmente, lo mismo que lo pueden ser las obras de arte.
Al tomarse separados del contexto cultural, los teoremas
se enfocan de modo trascendente y se ven como analíticos
o verdaderos por su ser, dada la verdad por la demostración
que hace el matemático (como el artista su obra);
o sintéticos y se les admite como verdaderos por su
correspondencia y localización en la historia y el
mundo”.
Está muy
claro que las matemáticas son un instrumento de transmisión
de la cultura, por tanto las verdades matemáticas
son verdades en el espacio y en el tiempo y nunca verdades
absolutas.
En
otro pasaje de su artículo, Krieger nos dice que “la
matemática es un instrumento y un oficio. Como instrumento
es útil porque se adapta al material que encuentra,
es decir, al mundo natural y a las ciencias. Pero, a la vez,
ese material también se adapta para ponerse de acuerdo
con las capacidades matemáticas. Un acuerdo nunca
perfecto con lagunas entre ambos polos que obliga a realizar
modificaciones en la matemática para ponerse de acuerdo
con el material que la entorna; pero también el mundo,
el material, tiene que modificarse para esa adaptación”.
Igualmente
las matemáticas son un instrumento de asimilación
para acomodarnos al mundo que nos rodea, es decir, para conferir
un significado a lo real. Cuanto más y más
poderoso sea este instrumento de asimilación, se le
podrán conferir a la realidad significados cada más
ricos. La utilidad de las matemáticas está,
por tanto, en su poder para explicar el mundo, tratar de
desconectar las primeras del segundo será, por tanto
un error aberrante.
El
maestro que enseña matemáticas debe conectar
estas con la realidad para no parecerse al matemático
que describe P. Simons: “el matemático qua matemático
no le parece esencial reflexionar acerca de lo que hace y
de lo que dice”, con lo que, instalado en el mundo de las
ideas, se transforma en un platónico que maneja
objetos abstractos separados del espacio y del tiempo y
totalmente ajenos a la realidad que circunda al sujeto
que aprende.
Finalmente
Krieger postula que las matemáticas, como oficio de
docente, debe partir del hecho que “la enseñanza de
la matemática contiene un ímpetu, lo que se
califica de motivación, que no está escrito
en parte alguna pero se transmite en la pizarra o el papel,
en el planteamiento de tareas y actividades individuales
o colectivas. La motivación proviene de la ejemplificación,
de la anécdota… y esta motivación es de tipo
más bien general y cultural aunque se utilice una
jerga semitécnica de la subcultura propia del matemático”.
La única
enseñanza válida de las matemáticas,
sea cual sea el prisma que se utilice, debe partir de la
realidad y debe tener como destinataria esa misma realidad.
Desde
que Paul Benacerraf publicara su célebre dilema[28] conocemos
los cuatro elementos esenciales del saber matemático:
1. El
conocimiento matemático se basa en una posición epistemológica
(que se ha dado en llamar epistemología del sentido
común) de naturaleza causal.
2. El
conocimiento matemático exige la interacción
entre el sujeto y el objeto.
3. Los
objetos matemáticos son entidades existentes.
4. Los
objetos matemáticos no pueden ser entidades
abstractas y han de estar localizados espacio-temporalmente.
Esto
nos lleva a concluir que el número, en cuanto objeto
matemático, existe (luego es un contenido instruccional),
que no es una entidad abstracta (luego hay que concretizarlo),
que no puede conocerse sino mediante la interacción
del sujeto con él (luego debe conocerlo en acción)
y que la única manera de conocerlo es mediante mecanismos
causales (luego no puede desligarse de la realidad).
