LA
CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO
ARITMÉTICO INFORMAL EN NIÑOS DE EDUCACIÓN
INFANTIL: UN ESTUDIO LONGITUDINAL DE LAS CUATRO OPERACIONES
ARITMÉTICAS.
Mª Oliva
Lago, Sonia Caballero, Purificación Rodríguez,
Laura Jiménez, Mª Lourdes Hernández y
Silvia Guerrero.
INTRODUCCIÓN
Las investigaciones cognitivo-evolutivas
indican que, en general, al margen de cómo se introduzcan
las técnicas, símbolos y conceptos matemáticos
en la escuela, los niños tienden a interpretar y abordar
las matemáticas formales en función de sus
conocimientos matemáticos informales (p.e., Clements
y Sarama, 2000; Ginsburg, 1997; Hierbert, 1984). La distinción
entre conocimiento formal e informal reside en que el primero
consiste en la manipulación de un sistema de símbolos
escritos que se aprende en la escuela, mientras que el segundo
se construye a partir de la interacción con el medio
físico y social.
Los niños se desarrollan en un medio social que les
brinda múltiples oportunidades para relacionarse con
elementos que pueden ser manipulados, tocados e incluso contados.
Es en este medio donde los más pequeños se
enfrentan a situaciones de adición, sustracción,
multiplicación y división (p.e., Cowan y Renton,
1996; Fuson, 1982; Klein, 1984). De ahí que las investigaciones
se hayan centrado en estudiar dichos conceptos empleando
preferentemente problemas verbales.
En efecto, la operación de sumar se vincula inicialmente
con la acción de añadir o poner y la
de restar con la de quitar, separar o comparar (p.e.,
Ginsburg, Klein y Starkey, 1998; Nunes y Bryant, 1997; Rittle-Johnson
y Siegler, 1998; Wynn, 1998). Además, los efectos
producidos por las acciones de poner y quitar permiten
a los niños descubrir que se trata de procesos inversos:
si la adición aumenta un conjunto, la sustracción
lo disminuye (p.e., Carpenter, Hiebert y Moser, 1981; Resnick,
1983; Riley, Greeno y Heller, 1983). Del mismo modo, diversas
investigaciones han mostrado que el conocimiento de los más
pequeños sobre la multiplicación y la división
ha sido frecuentemente subestimado. El estudio de Carpenter
y colaboradores (1993) aportó datos sobre las habilidades
de los niños de edades comprendidas entre los
4-6 años en problemas verbales de adición,
sustracción, multiplicación y división.
En general, los resultados indicaron que los niños
solucionaban con éxito los problemas, independientemente
de la operación implicada, siempre y cuando contasen
con objetos físicos para representar las cantidades.
No obstante, es importante señalar que los profesores
habían participado previamente en el programa CGI
(Cognitively Guided Instruction).
Por nuestra parte, hicimos un trabajo de réplica con
niños de 5
a 6 años empleando problemas de multiplicación
y división, con la salvedad de que ni los profesores
ni los niños habían formado parte de ningún
programa de entrenamiento previo (Lago, Rodríguez
y Caballero, 1999). Los resultados corroboraron los hallados
por Carpenter et al. (1993), ya que los porcentajes
de éxito alcanzaron el 86% en los problemas de multiplicación
y el 72% y 70% en los de división partitiva y división
de medida. Al no haber recibido instrucción formal
sobre la multiplicación y la división, los
niños recurrían a estrategias alternativas
de resolución basadas en la habilidad de contar. En
esta misma línea, un trabajo posterior de Wright,
Mulligan y Gould (2000) establecieron cinco niveles evolutivos
en el conocimiento temprano de los niños sobre la
multiplicación y división, vinculados a estrategias
que procedían de la reorganización cognitiva
del conteo y de las estrategias de adición y sustracción:
(1) agrupamiento inicial, (2) conteo perceptual por múltiplos
(conteo rítmico, doble conteo y conteo a saltos), (3) composición
figurativa de grupos, (4) repetición abstracta de
la composición de un grupo y (5) multiplicación
y división como operación.
En el caso de las estructuras multiplicativas, la multiplicación
se asocia con las adiciones repetidas mientras que la división
está ligada a la idea de reparto. Dickson, Brown y
Gibson (1984) y Nunes y Bryant (1997) sugirieron que la experiencia
con el “reparto” favorece la aparición del concepto
de división. En términos de Correa, Nunes y
Bryant (1998), cuando los niños tienen un esquema
de acción para realizar la distribución equitativa
empiezan a comprender la división. Los niños
de 4 y 5 años son capaces de repartir cantidades discontinuas
usando el reparto uno-a-uno, pero normalmente no establecen
ninguna conexión entre el reparto y la equivalencia
cardinal. A partir de los 5 años comienzan a modificar
su rutina de reparto para ajustarla a las diferencias en
el tamaño de las unidades repartidas. Sin embargo,
comprender la división conlleva que los niños
capten además la relación entre los tres elementos
de la misma: dividendo, divisor y cociente. Los niños
pequeños no parecen haber desarrollado esta comprensión
y por eso, cuando reparten, sólo pretenden que todos
los destinatarios tengan la misma cantidad. Por ejemplo,
la relación inversa entre divisor y cociente parece
surgir gradualmente, de acuerdo con Correa et al. (1998),
entre los 5 y los 7 años como resultado de las experiencias
diarias de los niños con el reparto, los aprendizajes
escolares de conceptos relacionados y el proceso mismo de
maduración.
La importancia atribuida a la conducta de reparto está además
avalado por los datos de Nunes y Bryant (1997), Kornilaki
y Nunes (1997) y Squire y Bryant (2002), quienes encuentran
que los niños de Educación Infantil (E.I.)
tienen más éxito en las situaciones partitivas
que en las de medida. Por ejemplo, Kornilaki y Nunes (1997)
presentaron a niños de 5, 6, y 7 años problemas
de medida y partitivos en las condiciones de divisor idéntico
y divisor diferente, con cantidades continuas y discontinuas.
Los autores no hallaron diferencias dependiendo de las cantidades
que estuvieran presentes, pero sí en el tipo de división.
En efecto, resultaron más difíciles los problemas
de división de medida que los partitivos. Este último
dato lo explicaron aludiendo a que la división partitiva
se encuentra más próxima a la experiencia de
reparto de los niños.
Por su parte, Nunes y Bryant (1997) afirmó que resultaba
más difícil la división de medida que
la partitiva, ya que, en esta última, los niños
podían representar el dividendo y el divisor, mientras
que en la de medida tan sólo el dividendo. Conclusiones
similares fueron halladas por Squire y Bryant (2002). En
efecto, comprobaron que a los niños les resultaba
relativamente más sencillo determinar el número
de caramelos que correspondía a cada muñeco
cuando en la situación de reparto el divisor determinaba
el número de grupos y el cociente el tamaño
de cada grupo (i.e., división partitiva), pero que
esta situación se volvía compleja cuando el
divisor establecía el número de objetos en
cada grupo y el cociente era el número de grupos formados
(i.e., división de medida).
En otro orden de cosas y para terminar, los resultados procedentes
de los estudios con problemas verbales apuntan que los niños
pequeños obtienen distintos niveles de rendimiento
dependiendo de la estructura semántica del problema
verbal que se les proponga (p.e., Bell et al., 1989;
Bermejo, Lago y Rodríguez, 1994, 1998; De Corte y
Verschaffel, 1996; English, 1998)). Por ejemplo, los niños
de Educación Infantil son capaces de resolver problemas
de adición y sustracción con estructura de
cambio si la incógnita se encuentra en el resultado
y cuentan con ayuda de material para representarlos. Además,
también pueden resolver con éxito problemas
con estructuras más complejas (i.e., problemas de
comparación y de igualación) si aparecen reformulados
(Lago et al., 2001; Pepper y Hunting, 1998). Así,
Carpenter y cols. (1993) mostraron que los niños de
Educación Infantil, tenían éxito en
problemas de comparación de sustracción en
los que se desconocía el resultado y en los problemas
de cambio con la incógnita en el conjunto de cambio
(i.e., segundo sumando), cuando recibían materiales
para representar las acciones descritas en el problema. De
modo semejante, Bermejo y Rodríguez (1987) encontraron
que un 52% de los niños de 5 - 5;6 años y el
64% de los niños de 5;6 - 6 años eran capaces
de resolver problemas de igualación cuando disponían
de objetos para representar el problema.
No obstante, el estudio sobre los conocimientos informales
de los niños pequeños sobre las operaciones
aritméticas básicas de cálculo carece
de investigaciones longitudinales que analicen simultáneamente
las cuatro operaciones, siendo éste el objetivo de
nuestro estudio. Esta meta se plasmó, a su vez, en dos objetivos específicos.
El primero consistía en comprobar si las cuatro operaciones
aritméticas representaban para los niños pequeños
distintos niveles de complejidad. La trascendencia educativa
de este planteamiento se evidencia en el proyecto curricular
de primaria, momento en que empieza la enseñanza reglada
de las operaciones aritméticas. Esta enseñanza
formal empieza por la adición, seguida de la sustracción,
multiplicación y concluye con la división,
en un intento de ir de lo más fácil a lo más
difícil. Sin embargo, ¿esta secuenciación
obedece a razones puramente matemáticas, que centran
el aprendizaje de estas operaciones en la enseñanza
del algoritmo, o toma en consideración aspectos psicológicos
relacionados con el proceso de adquisición de estos
conceptos? Para responder a esta cuestión, no sólo
hemos incorporado en las tareas propuestas a los niños
las cuatro operaciones aritméticas, sino también
el factor Estructura Semántica, que en la investigación
sobre problemas verbales se ha revelado de gran importancia.
En otras palabras, nuestro interés consistió en
determinar si el grado de dificultad de las diferentes operaciones
experimentaba variaciones dependiendo de que los problemas
se formulasen en términos de acción o no-acción.
El segundo objetivo fue tratar
de establecer los procesos de solución de los niños
de EI cuando se enfrentan a estas tareas. En efecto, pretendemos
trazar la secuencia evolutiva que siguen en los procedimientos
de resolución mediante una metodología longitudinal.
La novedad aquí reside en que la mayoría de
los estudios emplean una metodología transversal y
además, analizan una o dos operaciones aritméticas
(p.e., adición y substracción), pero no las
cuatro de manera conjunta.
MÉTODO
Participantes.
El estudio se desarrolló a lo largo de dos cursos escolares.
En el primer año participaron 18 niños con
edades comprendidas entre los 4-5 años y en
el segundo año se realizó el seguimiento a
15 de estos niños, puesto que los tres restantes abandonaron
el centro.
Material
y procedimiento.
Todos los niños tuvieron disponible material para resolver
los problemas. El material estuvo formado por 8 casas de
diferentes colores, 20 gallinitas y 20 sacos de trigo. Además,
se utilizó una marioneta de guante con forma de vaca
que era la encargada de leer los problemas. Todas las sesiones
fueron grabadas en vídeo para su posterior análisis.
Todos los niños resolvieron un total de 20 problemas
verbales. Se incluyeron 2 ensayos de problemas verbales de
adición, substracción, multiplicación,
división partitiva y división de medida con
dos formulaciones verbales, acción y no-acción (ver
Tabla 1). La tarea fue dividida en 5 sesiones con el fin
de evitar el cansancio.
ANÁLISIS
DE RESULTADOS
Comenzaremos el análisis determinando la significatividad
de los diferentes factores considerados (i.e., Momento de
la medición, Operación y Estructura Semántica).
A continuación, analizaremos los procedimientos correctos
de los niños en los problemas, haciendo especial hincapié en
las diferencias entre ambas mediciones. Finalmente, estableceremos
a que sujetos concretos afecta especialmente el cambio y
la consistencia del mismo en función de la
Operación, la
Estructura Semántica y los procedimientos de resolución.
1. Análisis
Cuantitativo
Hemos realizado un ANOVA 2 (Momento de la Medición: Medición
I vs Medición II) x 5 (Operación: Adición
vs Sustracción vs Multiplicación vs División
partitiva vs División de medida) x 2 (Estructura Semántica:
Acción vs No-acción) con medidas repetidas
y ejecutado con el programa SPSS 12.0 (ver Tabla 2).
Insert Tabla 2
Este análisis reveló que eran significativos
los efectos principales de los factores Medición (F 1,14 =
6.000, p<0.05) y Estructura Semántica (F1,14 =
101.083, p< 0.01), así como la interacción
Estructura Semántica * Operación (F 4,56=
5. 206, p<0.01).
Con respecto al factor Medición, el rendimiento de los
niños mejoró ligeramente en el transcurso de
un año (M: 0.80 cuando cursaban 2º de
EI vs. M: 0.96 cuando cursaban 3º de EI). No
obstante, como veremos en el análisis cualitativo,
experimentaron importantes cambios en su comprensión
aritmética, cuyos efectos no siempre se trasladaron
al ámbito cuantitativo.
En cuanto al factor Estructura Semántica, el rendimiento
de los niños en los problemas que implicaban acción (M:
1.55) fue más elevado que en los de no-acción (M:
0.21), lo que concuerda con los datos encontrados en otras
investigaciones (Bell et al., 1989; Bermejo, Lago
y Rodríguez, 1994, 1998; De Corte y Verschaffel, 1996;
English, 1998). La mayor facilidad de los problemas que implican
acción está relacionada con el hecho de que
las situaciones dinámicas imponen menos demandas cognitivas
y se pueden representar fácilmente con material. Esta
explicación parece más acertada que el simple
hecho de aludir a la práctica repetida en una estructura
concreta, ya que los niños de E.I. no habían
recibido todavía instrucción formal.
El factor Operación no resultó significativo
y, por tanto, la dificultad de todas las operaciones fue
similar (ver Tabla 2). Esto confirma que los más pequeños,
al carecer de un conocimiento formal acerca de estas operaciones,
las sitúan todas en un mismo plano de dificultad.
Los resultados ratifican los hallados por otros autores,
como Carpenter et. al. (1993), en problemas de acción que
abarcaban las cuatro operaciones.
Sin embargo, la uniformidad que sugiere la falta de significación
del factor Operación quedó matizada por los
datos procedentes de la interacción Estructura Semántica
* Operación, como se puede apreciar en la gráfica
1 en la que se muestran los diferentes rendimientos entre
los problemas de acción y no-acción en
todas las operaciones. En concreto, a parte de confirmar
la superioridad de las situaciones de acción,
estos resultados han permitido apreciar que la homogeneidad
entre las operaciones se mantiene cuando los problemas conllevan acción,
pero en las situaciones de no-acción la división
partitiva resultó ser significativamente más
sencilla que el resto de las operaciones. Este último
dato confirma parcialmente los propuestos por Nunes y Bryant
(1997), Kornilaki y Nunes (1997) y Squire y Bryant (2002),
puesto que sólo en las situaciones de no-acción la
división partitiva resultó más sencilla
que la división de medida.
Por tanto, la no-significación del factor Operación
podría deberse al efecto compensatorio de la Estructura Semántica
sobre las diversas operaciones, hasta el punto de igualar
las diferencias que existían en las ejecuciones de
los niños.
Insert Grafica 1
2. Análisis
cualitativo.
a) Procedimientos
correctos en problemas verbales de adición y sustracción:
El análisis de los resultados puso de manifiesto, en
primer lugar, que en ambas operaciones y mediciones, las
situaciones de acción obtenían un mayor
porcentaje de estrategias correctas que las de no-acción. Si
consideramos por separado ambas operaciones, en la adición los
niños emplearon un número mayor de procedimientos
correctos en la
Medición II, independientemente de la Estructura Semántica.
En cambio, en la sustracción, el porcentaje
de procedimientos correctos fue superior en la
Medición I cuando la estructura del problema era de acción. Este
efecto se debió probablemente a que el tamaño
de las cantidades superó la decena en la Medición II.
Segundo, en ambas mediciones, hemos encontrado que las estrategias
más utilizadas en orden de aparición fueron
las basadas en la Representación
Directa (niveles 1, 2 y 3), seguidas con una incidencia
similar, por las Memorísticas y las de Conteo.
Además, en la
Medición II en los problemas de sustracción
de no-acción, hemos hallado un mayor número
de estrategias Memorísticas (nivel 6) y de Conteo (niveles
4 y 5). El hecho de que hayan recurrido a estrategias más
evolucionadas en problemas que les resultaban más
complejos puede explicarse por el tamaño de las cantidades.
En el ejemplo, “En la casa verde están descansando
10 gallinas y en la casa amarilla están descansando
5 gallinas menos que en la verde. ¿Cuántas
gallinas están descansando en la casa amarilla?”, los
niños solucionaron este problema sin necesidad de
recurrir a la representación de las cantidades, porque
sabían que el resultado de la adición 5 + 5
se correspondía con los dedos de las 2 manos.
Tercero, aquellos niños que solucionaban los problemas
utilizando estrategias de Representación Directa o
de Conteo, no lo hacían de la misma forma pudiéndose
establecer diferentes pautas de actuación que se correspondían
a distintos niveles de complejidad (ver Tabla 3). El orden
impuesto responde a que suponen distintos grados de elaboración
que acercan a los niños a dar el salto a estrategias
progresivamente más complejas. Por ejemplo, en la
adición, en Representación Directa a medida
que avanzan los niveles los niños mostraban mayor
conocimiento matemático. Así, en el Nivel 2º no
necesitaban volver a contar como en el Nivel 1 y en el Nivel
3 prescindían de representar uno de los términos.
En la substracción, salvo el Nivel 1 que representa
la situación clásica, el 2º suponía
un cierto conocimiento de que el “minuendo-resto=sustraendo” y
el principio de composición aditiva de las cantidades
y el 3º implicaba resolver un problema de substracción
como si fuera de adición.
La primera y segunda gráfica del Cuadro 1 muestran la
distribución de estos niveles en la adición
y sustracción en las situaciones de acción.
La comparación de los resultados de la
Medición I y II nos ha permitido verificar, en primer
lugar, que en la Medición II tendían
a aparecer procedimientos más complejos. No obstante,
conviene no perder de vista que dichas estrategias se hallaban
ya presentes en la Medición I, aunque con un
grado bajo de eficacia. La mejora que se produce en la Medición II tiene que ver
precisamente con la disminución de los errores en
la aplicación de estos procedimientos. En segundo
lugar, en la adición, las estrategias más
primitivas de Representación Directa (nivel
1) han sido sustituidas por estrategias de los niveles 2,
3 y 5 (ver Tabla 3). En la sustracción, las
diferencias no resultaron sustanciales, destacando el dato
de que en la
Medición II aparecían por primera vez los Procedimientos Memorísticos.
Insert Tabla 3
En los problemas de no-acción, la tercera gráfica
del Cuadro 1 pone de manifiesto los avances que tenían
lugar en la
Medición II. En efecto, en la adición y en
la sustracción, no hemos hallado estrategias correctas
en la
Medición I, pero sí las hemos encontrado en la Medición II puesto que los niños recurrían
a la Representación
Directa, aunque en varias ocasiones no les llevó a
la respuesta correcta. Incluso, se arriesgaban a emplear
con éxito las Memorísticas en la sustracción.
En resumen, a la vista de estos resultados, estamos en condiciones
de afirmar que las experiencias escolares de los niños
han redundado en una mejora en la
Medición II, que se ha reflejado no sólo en
que eran capaces de resolver un número mayor de situaciones
de adición y sustracción, sino también
en los procedimientos de resolución empleados, ya
que ahora resultaban más complejos. No obstante, hay
que tener en cuenta que si bien las experiencias escolares
de los niños con los números eran cada vez
mayores, no podemos pensar que sean éstas las únicas
responsables de estas mejoras, puesto que deberíamos
contar también con las experiencias informales que
tenían lugar fuera del colegio.
b) Procedimientos
correctos en problemas verbales de multiplicación
y división:
De nuevo, como ocurrió en la adición y la substracción,
se ha producido una cierta mejora en los resultados en la
multiplicación y división en la
Medición II, independientemente de que el problema
implicase o no acción, propiciada por los cambios
acaecidos en los procedimientos de resolución. Veamos
esto con más detalle.
En la multiplicación, cuando los problemas eran
de acción, la mayoría de los niños
recurrían principalmente, en ambas mediciones, a las
estrategias de Representación Directa. No obstante,
como se puede apreciar en la cuarta gráfica del Cuadro
1, en la Medición II estos procedimientos
se flexibilizaron dando lugar a nuevas estrategias que implicaban
un grado mayor de desarrollo. Podemos apreciar que
en los niveles 1º y 2º de la multiplicación
precisaban material físico para representar los dos
términos de la operación (i.e., multiplicando
y multiplicador), mientras que en el 3º y 4º representaban
sólo físicamente el multiplicando y aparecía
el doble conteo (i.e., llevar paralelas dos secuencias
de conteo). Además, algunos niños comenzaron a experimentar
con los procedimientos de conteo y se incrementó la
presencia de las estrategias Memorísticas.
Cuando los problemas eran de no-acción, no hemos
registrado ningún procedimiento correcto en la Medición I. Sin embargo,
en la segunda, algunos niños resolvieron estos problemas
con éxito recurriendo a la Representación
Directa uno a uno (ver quinta gráfica; Cuadro
1).
En la división, hemos apreciado múltiples
maneras de abordar los problemas, de ahí que hayamos
clasificado las estrategias en dos grupos. En el primer grupo
hemos incluido las estrategias basadas en el reparto, es
decir, los niños tomaban el dividendo y “repartían
elementos” formando los conjuntos que indicaba el divisor.
En el segundo, las estrategias utilizadas se basaban en la “adición
repetida”, de manera que los niños formaban un primer
conjunto como indicaba el divisor y añadían
conjuntos equivalentes hasta alcanzar el dividendo. Además,
en cada uno de estos grupos de estrategias hemos establecido
diferentes niveles (ver Tabla 3).
En la división partitiva hemos apreciado algunas
diferencias entre la
Medición I y II cuando los problemas eran de acción.
En la Medición I fueron más
consistentes en la utilización de la misma estrategia
de reparto de un ensayo a otro, aún cuando eso les
llevase a una respuesta equivocada, mientras que en la Medición II había
una mayor variación en las estrategias.
De forma similar en la división
de medida, los niños fueron más consistentes
en las estrategias que utilizaban en ambos ensayos durante la
Medición I pero, a diferencia
de la división partitiva, predominaron las estrategias
basadas en la adición repetida (i.e., Nivel 1b y
Nivel 2b). Estas diferencias en los procedimientos, en
ambos tipos de división, mostraron que los niños
se acomodaban al enunciado del problema para poner en marcha
una u otra estrategia (ver sexta y séptima gráfica;
Cuadro 1).
Cuando los problemas fueron de no-acción, en
la división de medida encontramos datos similares
en ambas mediciones, ya que sólo hubo una respuesta
correcta en cada caso. No obstante, se constataron varios
intentos por parte de los niños para poner en marcha
algunas estrategias que no daban lugar a la respuesta correcta
(ver octava gráfica; Cuadro 1).
En la división partitiva predominaron las estrategias
correctas basadas en el reparto en ambas mediciones. Estos
datos comparados con los de la división de medida
mostraron que no hubo diferencias en cómo los más
pequeños afrontaban la división medida y la
partitiva cuando los problemas eran de no-acción,
aunque el éxito en esta última fue mayor en
ambas mediciones (ver novena gráfica, Cuadro 1).
Insert Cuadro 1
3. El
cambio intraindividual.
A lo largo de este trabajo hemos tenido ocasión de comprobar
que la ejecución de los niños, en los dos grupos
de edad, difería sustancialmente dependiendo de que
los problemas se formularan con estructuras aditivas o multiplicativas
y de que implicaran o no acción. En el apartado
que sigue, procederemos a examinar estos mismos datos, pero
con un objetivo bien distinto, consistente en explicar la
forma que adopta el cambio en cada uno de los niños
que formaron parte del estudio.
Esperamos que este análisis nos permita averiguar
el efecto conjunto de las variables Operación y Estructura
Semántica y los conocimientos previos de cada niño
en particular. Para ello, en un primer momento, hemos agrupado
los procedimientos de resolución utilizados en las
cuatro operaciones en seis niveles, tal y como aparecen recogidos
en la Tabla
4.
Insert Tabla 4
El análisis de datos se realizó con la prueba
de Wilcoxon. Hemos considerado como respuestas correctas
todos los ensayos en los que los niños seleccionaban
una estrategia correcta, aunque la respuesta final no lo
fuese por algún error de ejecución (i.e., error
de conteo). Además, hemos elegido la estrategia más
evolucionada, a pesar de que no fuera la misma en los dos
ensayos. Los resultados correspondientes a esta prueba se
presentan en las gráficas del Cuadro 2 (i.e., operaciones
con estructura de acción) y del Cuadro 3 (i.e.,
operaciones con estructura de no-acción).
Insert Cuadro 2
En concreto, cuando los problemas eran de acción hemos
advertido, por un lado que en las estructuras aditivas (Z=-0.424,
p> 0.05 y Z=-0.566, p>0.05 en adición y sustracción
respectivamente) no había diferencias significativas
en las estrategias que utilizaban en la Medición I y II (ver Cuadro 2, gráficas correspondientes
a estas operaciones). En ambas operaciones no hubo una evolución
cualitativa de las estrategias, ya que en la Medición I, cuando los niños
tenían 4 años, utilizaban estrategias de Conteo
(Nivel 5) y Memorísticas (Nivel 6). No obstante,
el uso de estrategias de nivel superior es mayor en la Medición II, lo que demuestra
que a lo largo de un año las estrategias se van consolidado
y como resultado imponen una menor carga cognitiva a los
niños y eso les conduce a usarlas más a menudo.
Por otro lado, en las estructuras multiplicativas (Z=-2.684,
p<0.01; Z=-2.280, p<0.05 y Z=-2.356, p<0.05 en multiplicación,
división partitiva y división de medida respectivamente)
se producían diferencias significativas en las estrategias
de una Medición a otra. Así, en la Medición I las estrategias
se agrupaban en el Nivel 1, pero en la Medición II eran más
variables abarcando desde el Nivel 1 al 6 (ver en el Cuadro
2 las gráficas correspondientes a estas operaciones).
En resumen, tomados conjuntamente los resultados correspondientes
a las estructuras aditivas y multiplicativas, en las situaciones
de acción, parecía evidente que si bien
los procedimientos de resolución resultaban similares
de unas operaciones a otras (i.e., Representación
Directa, Conteo y Memorísticas) la aplicación
de unas estrategias u otras dependía del tipo de operación
implicada. Así, las estrategias más evolucionadas
surgían antes en los problemas de adición y
sustracción, puesto que ya estaban presentes en la Medición I. Sin embargo
en la multiplicación y división había
que esperar a la Medición II. Más
concretamente, tan solo tres niños (i.e., el 5, el
7 y el 8) en adición y cuatro en sustracción
(i.e., el 6, el 8, el 11 y el 12) cambiaban a un procedimiento
más evolucionado, pero en la multiplicación
lo hacían diez niños (i.e., el 1, 3, 4, 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 y 15), siete en división partitiva
(i.e., el 1, 4, 6, 8, 11, 12 y 14) y nueve en división
de medida (i.e., 1, 4, 5, 6, 8, 11, 12, 13 y 14).
Cuando las estructuras de los problemas eran de no-acción,
los resultados mostraron que fueron significativos los cambios
de estrategias en la Medición II en los problemas
de adición, sustracción y multiplicación
(ver Cuadro 3). Cuando los niños tenían 4 años
no utilizaron ninguna estrategia correcta (i.e., Nivel 0),
pero en la
Medición II mejoraron claramente su rendimiento ocho
niños en adición (i.e., el 2, 3, 5, 6, 10,
12, 13 y 14), cinco en sustracción (i.e., el 3, 4,
6, 8 y 12) y ocho en multiplicación (i.e, 2, 3, 5,
6, 8, 11, 12 y 13), llegando a poner en marcha estrategias Memorísticas.
Sin embargo, no hubo un salto cualitativo tan importarte en
la división, puesto que el rendimiento de los niños
en la Medición I no estaba en
el Nivel 0.
A la vista de estos resultados, se podría concluir que
los más pequeños poseen un repertorio amplio
de estrategias, aunque no las utilizan por igual en todas
las situaciones, siendo determinante el Tipo de Problema
y la Operación.
Además, las mejoras observadas de una Medición
a otra no son sólo cuantitativas, sino también
cualitativas en los procedimientos de resolución.
En efecto, seis niños (i.e., el 4, 5, 6, 8, 11 y 12)
cambiaban a una estrategia más evolucionada en cinco
o más situaciones de acción / no-acción entre la Medición I y II.
Insert Cuadro 3
CONCLUSIONES
Los resultados del estudio han permitido confirmar, de acuerdo
con otros autores, que la Estructura Semántica
afectaba al rendimiento de los niños, siendo superior
en los problemas de acción. No obstante, la
dificultad para interpretar adecuadamente las proposiciones
relacionales de los problemas de no-acción fueron
solventadas, en algunas ocasiones, en la
Medición II como consecuencia de las crecientes competencias
cognitivas y las experiencias aritméticas. En efecto,
utilizaron procedimientos de resolución disponibles
en un número de situaciones cada vez mayor. Con respecto
a esto último conviene destacar, por un lado, que
los procedimientos más desarrollados aparecieron en
los problemas de acción. Por otro, aunque los
niños disponían de procedimientos de resolución
sofisticados, esto no garantizaba que solucionaran con éxito
los problemas más complejos de no-acción ni
que sean éstos a los que recurrían cuando los
resolvían correctamente. Por el contrario, solían
utilizar procedimientos más simples.
En cuanto al orden de dificultad de las diferentes operaciones
aritméticas, lejos de lo que establece el currículo
escolar formal, los niños de E.I. no parecían
plegarse a ese orden. A nuestro entender, el problema del
currículo reside en que olvida los conocimientos informales
que construyen los niños sobre las diferentes operaciones
aritméticas a través de las experiencias de “repartir”, “quitar” y “añadir”,
entre otras, antes de acceder al conocimiento de los algoritmos.
Como se pone de manifiesto en este estudio, los niños
de E.I. ya han empezado a construir los conceptos relacionados
con estas cuatro operaciones aritméticas y debe ser
la enseñanza formal la encargada de tender un puente
entre las estrategias ideadas por los propios niños
y otros procedimientos basados en los algoritmos y sus propiedades.
A este respecto, a nadie se le escapa que el aprendizaje
del algoritmo de la división resulta más complejo
que el de la multiplicación y así sucesivamente
porque, entre otras cosas, se basan unos en otros (p.e.,
la división es una multiplicación y una resta),
del mismo modo que los algoritmos son procedimientos más
precisos que los basados en el conteo, pero aún así resulta
poco apropiado relegar al olvido los conocimientos informales
construidos por los niños. Además, tampoco
se puede basar únicamente la enseñanza de estas
cuatro operaciones aritméticas en la resolución
de algoritmos, desplazando los problemas a un segundo plano.
Parece claro, a la luz de los datos arrojados por este estudio
y otros muchos a los que nos hemos referido en este trabajo,
que la resolución de problemas podría ser el
instrumento que facilitase el establecimiento de nexos entre
el aprendizaje informal y el formal.
Para terminar, teniendo en cuenta que el objetivo último
de nuestro estudio era desvelar las características
de ese conocimiento informal, hemos optado por una perspectiva
evolutiva, ya que, desde nuestro punto de vista, cualquier
pauta educativa ha de tomar en consideración los resultados
evolutivos. En efecto, si conseguimos establecer los niveles
evolutivos en la adquisición de uno u otro procedimiento,
la enseñanza puede facilitar a los niños el
tránsito de uno a otro, sin perder de vista las diferencias
individuales. Son esas diferencias las que hemos intentado
reflejar en el último apartado del estudio, haciéndonos
eco de los cambios individuales en los procedimientos de
resolución de una medición a otra.
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Tabla
1: Problemas verbales presentados a los niños.
|
ADICIÓN |
ACCIÓN |
En la
casa azul hay 5 gallinas, y otras 3 van a jugar con
ellas. ¿Cuántas gallinas hay ahora en
la casa azul? |
|
NO
ACCIÓN |
Las
gallinas preparan la comida, ponen en la casa azul
7 sacos de trigo y en la casa amarilla ponen 4 sacos
de trigo más que en la casa azul. ¿Cuántos
sacos de trigo han puesto en la casa amarilla? |
|
SUBSTRACCIÓN |
ACCIÓN |
En la
casa amarilla hay 11 gallinas y 6 gallinas se van de
paseo. ¿Cuántas gallinas se quedan en
la casa amarilla? |
|
NO
ACCIÓN |
En la
casa verde están descansando 10 gallinas y en
la casa amarilla están descansando 5 gallinas
menos que en la verde. ¿Cuántas gallinas
están descansando en la casa amarilla? |
|
MULTIPLICACIÓN |
ACCIÓN |
Las
gallinas preparan la cena, colocan en la casa azul,
en la casa roja y en la casa amarilla 3 sacos de trigo
en cada una. ¿Cuántos sacos de trigo
han colocado en total para la cena? |
|
NO
ACCIÓN |
En la
casa roja hay 3 gallinas y en la casa azul 4 veces
las gallinas que hay en la casa roja. ¿Cuántas
gallinas hay en la casa azul? |
|
DIVISIÓN
PARTITIVA |
ACCIÓN |
Tenemos
12 gallinas, que hay que guardar entre la casa azul,
amarilla y verde. En todas las casas tiene que haber
el mismo número de gallinas. ¿Cuántas
gallinas metemos en cada casa? |
|
NO
ACCIÓN |
Las
gallinas de la casa azul comen 9 sacos de trigo y las
de la casa verde comen 3 sacos de trigo. Si en cada
viaje traigo 3 sacos de trigo. ¿Cuántos
viajes más tendré que ir a la tienda
para comprar el trigo de las gallinas de la casa azul? |
|
DIVISIÓN
MEDIDA |
ACCIÓN |
12 gallinas
se van a dormir y en cada casa caben 4 gallinas. ¿Cuántas
casas se necesitan para que quepan todas las gallinas? |
|
NO
ACCIÓN |
Las
gallinas de la casa verde comen la mitad de sacos de
trigo que las gallinas de la casa azul y las de la
casa azul comen 8 sacos de trigo. ¿Cuántos
sacos de trigo comen las gallinas de la casa verde? |
Tabla
2: Medias y desviaciones típicas, entre paréntesis,
del ANOVA.
| |
Medición
I |
Medición
II |
| |
Acción |
No-acción |
Acción |
No-acción |
|
Adición |
1.53
(0.74) |
0.00
(0.00) |
1.87
(0.35) |
0.27
(0.59) |
|
Sustracción |
1.53
(0.83) |
0.00
(0.00) |
1.40
(0.83) |
0.33
(0.62) |
|
Multiplicación |
1.47
(0.74) |
0.00
(0.00) |
1.60
(0.74) |
0.33
(0.62) |
|
División
partitiva |
1.27
(0.88) |
0.47
(0.52) |
1.53
(0.83) |
0.60
(0.63) |
|
División
de medida |
1.67
(0.72) |
0.07
(0.26) |
1.60
(0.74) |
0.07
(0.26) |
Puntuación máxima
posible: 2
