En
esta ponencia se abordará el problema de la evaluación
de la competencia matemáticas en Educación
Infantil y se propondrá un instrumento útil
para llevarla a cabo.
1.-
Marco en el que surge.
La detección precoz de Necesidades Educativas Especiales tiene
grandes ventajas para dar una respuesta educativa adecuada.
Pero en Educación Infantil es difícil
evaluar así como distinguir entre un desarrollo
verdaderamente retrasado que requiera intervención
y la normal diferencia que se da entre los alumnos.
Esta prueba surge
de la carencia de instrumentos que evalúen las matemáticas
en los primeros años de escolaridad que estén adaptados
a los objetivos curriculares y que a la vez tengan
una perspectiva evolutiva.
Para elaborarla
se llevó a cabo un análisis de las pruebas
de uso común en la evaluación psicopedagógica
y la revisión de la literatura científica
sobre el desarrollo evolutivo de las matemáticas,
que posteriormente se ha contrastado con las observaciones
de los alumnos de Educación Infantil. También
se han tenido en cuenta las opiniones del profesorado
sobre qué aspectos se deben evaluar, pues a ellos
van dirigidos las orientaciones.
2.
- Contexto histórico.
A lo largo de los años y dependiendo de
las tendencia educativas y de investigación se han
ido desarrollando diferentes instrumentos y procedimientos
para medir la competencia matemática y las dificultades
en su adquisición.
Bryant y Rivera (1997) establecen tres
períodos en la evaluación de las matemáticas. En
el primer período (1845-1915) tanto en Europa como
en América se desarrollan pruebas de evaluación
estandarizadas con la pretensión de llevar a cabo
una evaluación objetiva, incluyendo tareas matemáticas.
En una segunda etapa, entre 1915 y 1940, la evaluación
mediante test se hizo popular entre los psicólogos
y los educadores. En estos años las pruebas se hicieron
más sofisticadas y se aplicaron procedimientos estadísticos
a las mismas. Y en la última etapa, a partir
de 1940, se produjo una gran proliferación de pruebas
extendiéndose ampliamente su uso. En los últimos
años de este período se empiezan a poner en
práctica procedimientos de evaluación acordes
con las normas marcadas por el “National Council of Teachers
of Mathematics”, como es la evaluación “portfolio”, los
test de referencia criterial, las medidas de base curricular
y el análisis de los errores, etc. (Bryant y Rivera, 1997).
En nuestro país la legislación desarrollada tras la L.O.G.S.E de 1990 hace especial
hincapié en la forma de evaluar. Tanto en lo referente
a la evaluación llevada a cabo por los tutores como
por los Equipos de Orientación Educativa y Psicopedagógica.
En las orientaciones didácticas de las Cajas Rojas
(Ministerio de Educación y Ciencia, 1992c), para Educación
Infantil y Educación Primaria se aboga por una
evaluación continua, que tenga un carácter
formativo, regulador, orientador y autocorrector del proceso
educativo, indicando que para cumplir estas condiciones se
debe utilizar una evaluación individualizada y criterial
(en la que se deben tomar como referencia unos criterios
o metas establecidos teniendo en cuenta la propia situación
inicial de cada alumno).
3.- ¿Cómo debe ser la evaluación?.
Los objetivos de la evaluación educativa
en opinión de Waterman (1994) son los siguientes:
1. Identificar a los alumnos que tienen dificultades para
aprender determinados contenidos, 2. diagnosticar la fuente
de estas dificultades y determinar si son niños que
precisan los recursos de Educación Especial, 3. proporcionar
información con el fin de determinar cual es la mejor
respuesta educativa: tipo y modo del apoyo, Programa de Desarrollo
Individual, etc., 4.planificar la instrucción de forma
apropiada en función de las necesidades del alumno
y 5. evaluar el progreso del alumno.
También Rivera (1997) nos define la evaluación como
un proceso sistemático de recogida de información
educativa relevante para tomar decisiones legales y de instrucción
acerca de la provisión de servicios de educación
especial. Según esta autora la búsqueda
de respuesta a una serie de cuestiones (como son : ¿cuáles
son los puntos fuertes y débiles de los conocimientos
de los estudiantes?, ¿qué estrategias
usan?, ¿dificultades en matemáticas?...)
ayuda a los profesionales y a los familiares en la toma de
decisiones sensatas acerca de las necesidades de cada sujeto.
Baroody (1988) considera que una buena evaluación de
las dificultades de los alumnos desde una perspectiva cognitiva
debe contar con los siguientes elementos de evaluación
y diagnóstico: 1.- examinar el conocimiento formal
e informal; 2.- evaluar la precisión y eficacia de
las técnicas (el uso de algoritmos en las matemáticas
básicas); 3.- detallar la pauta individual de los
puntos fuertes y débiles en el niño; 4.- debe
evaluar conceptos (pues se puede aprender un algoritmo y
no entender el concepto); 5.- examinar las estrategias seguidas
para llegar a una solución, y 6.- analizar los errores
que comete, ya que constituyen una importante fuente de información
sobre los conocimientos subyacentes.
Por tanto, para evaluar al alumno es necesario
un instrumento que dé información tanto
del nivel curricular del alumno como de las estrategias
puestas en práctica y de la forma de enfrentarse a
la tarea, que recoja los aspectos deficitarios y los
puntos fuertes.
4.-
Objetivos.
Teniendo en cuenta
las aportaciones de las investigaciones en matemáticas
y la experiencia de los autores valorando alumnos nos planteamos
los siguientes objetivos a la hora de diseñar el instrumento:
ü Aplicación
rápida (1 hora).
ü Adaptación
a los criterios de Curriculum de estas etapas establecidos
en los Decretos de Curriculum y en las Cajas Rojas.
ü Base
científica actualizada, y la orientación de
la prueba coherente con un enfoque constructivista.
ü Evaluar
tanto la matemática formal como la informal.
ü Permite
ir recogiendo la información de forma sencilla.
ü Aporta
información tanto cuantitativa como cualitativa (como
son las estrategias utilizadas por el alumno y el tipo de
errores que comete).
ü Valora
por una parte la comprensión y solución del
problema y por otra el algoritmo que debe aplicar para solucionarlo.
ü Aunque
dirigido a evaluar la competencia a final de etapa, discrimina
distintos niveles de competencia en los diferentes cursos
del mismo ciclo.
ü Cuenta
con un material atractivo para al alumno.
ü Este
material es fácil de divulgar y/o adquirir.
ü Mediante
la manipulación del material, la evaluación
se realiza a un nivel más concreto y otro más
abstracto.
ü Se
puede aplicar tanto por los profesionales de los E.O.E.P.s
como por los profesores.
ü Cuenta
con instrucciones claras y sencillas incorporadas en la hoja
de recogida de información, evitando así el
engorro de tener que consultar un manual.
ü Las
observaciones de la actividad del alumno (estrategias, procedimientos,
tipos de errores, etc.) están recogidas en la
Tabla de resultados, facilitando y guiando así la
labor de la persona que observa la conducta.
ü Incorpora
técnicas de entrevista con el fin de valorar procesos
internos en la solución de problemas.
5.
Presentación de la prueba.
La prueba
consta de dos cuadernillos: en uno responde el niño
y el otro lo cumplimenta el adulto. En este último
cuadernillo se recoge una lista de observaciones de
la conducta del niño (estrategias, procedimientos,
tipos de errores, etc.), facilitando y guiando la labor
de la persona que observa, junto a unas instrucciones claras
y sencilla, que evita el engorro de tener que consultar
un manual. Se incorporan además a la prueba técnicas
de entrevista, con el fin de valorar procesos internos en
la solución de problemas.
Se pretende diferenciar
la ejecución en matemáticas de otros procesos
cognitivos que pueden estar influyendo en el comportamiento
infantil como son: falta de motivación, dificultades
para prestar atención, para memorizar los datos o
para leer las actividades.
Con este fin se
han establecido los siguientes procedimientos en la evaluación:
1. Se introducen tareas
manipulativas en los niños más pequeños.
Por ejemplo en la tarea de ordenar números, éstos
se presentan escritos en tarjetas que pueden manipular, o
en la resolución de problemas se dan los mismos materiales
sobre los que versa el problema para facilitar los cálculos.
2. El contenido de los
problemas es familiar y motivador, como por ejemplo caramelos
o coches.
3. Se repiten los problemas, los datos o las explicaciones
cuantas veces sean necesarias para no sobrecargar la memoria
de trabajo.
4. Con el fin de que no interfiera en la ejecución
en las tareas matemáticas la presencian de dificultades
en lectura se le leen todas las tareas, tal como en investigaciones
anteriores han hecho otros autores (Jordan
y Hanich 2000; Jordan, Kaplan y Hanich, 2002).
También nos interesa conocer el grado de comprensión
de las tareas no resueltas o la razón de los errores.
Por ello se pregunta si sabe que debe hacer.
A
continuación se describe cada una de las tareas que
componen la prueba.
5.1.Numeración y relaciones numéricas.
5.1.1. Cuantificadores
o esquemas proto-cuantitativos.
A edades precoces
los niños discriminan numerosidad y diferencian
medidas, estos son juicios de comparación más
que valores absolutos de medida. Esto hace pensar a Resnick
(1989) que existe un esquema prelingüístico para
la comparación cuantitativa de los objetos, de forma
que cuando se desarrolla el lenguaje dos tipos de conocimiento
adicionales empiezan a estar disponibles para el niño:
los términos protocuantitativos que son conceptos
que expresan cantidad sin precisión numérica
y la cuantificación numérica cuya primera expresión
es el conteo. En el Decreto de Curriculum los primeros
son denominados como cuantificadores, definiéndolos
como la cantidad que engloba un número sin necesidad
de precisarla.
En la tabla 1
se recoge la tarea de evaluación que se aplica en
Educación Infantil para evaluar el esquema protocuantitativo
de cambios de cantidad y los cuantificadores. Como nos interesa
saber si comprende el término y no si sabe evocarlo
la respuesta del niño no es verbal sino señalando
|
Tabla 1:
Evaluación esquemas protocuantitativos |
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Se le presentan al niño una tarjeta en la que hay
unos dibujos de unos animales y le decimos: |
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Ante un dibujo hay cuatro personas de diversas edades y sus
tartas de cumpleaños le preguntamos: |
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T12b: “Mira este es el abuelo, el padre, un niño y
un bebe. Cada uno tiene su tarta de cumpleaños.(vamos
señalando los elementos).
¿Quién es el que tiene más velas?
(1)
¿Quién tiene menos velas? (2)
¿Quién tienen más velas que el niño?
(3)
¿Quién tiene menos velas que el padre? (4)
¿Quién tiene menos años que el
niño? (5)
¿Quién tiene más años que
el padre? (6) |
|
Se ponen unas tarjetas con números sobre la mesa en
un orden preestablecido y le pedimos: |
|
T12c: Se le muestra el número 4 (en una tarjeta) y
le decimos: (g) Elige de estos números
uno que sea mayor que este .... y ahora elige
otro.
Elige (h) uno que sea menor .....y ahora otro (se colocan
sobre la mesa todos los números). |
5.1.2. Subitizing.
El “subitizing” es
la capacidad para aprehender de forma inmediata la cantidad
de un pequeño conjunto y decir su etiqueta. Esta capacidad parece
proporcionar la base para la realización de sumas
de forma temprana y sigue teniendo importancia en los
avances de los niños de más edad (Fuson, 1992).
Esta forma de estimación preverbal tiene la gran ventaja
de ser rápida, pero es muy inexacta con conjuntos
superiores a 4 ó 5 elementos (Gallistel y Gelman,
1992).
En la prueba el
niño debe decir la numerosidad de un conjunto de objetos
representados en unas tarjetas sin contar, son entre 2 y
6 elementos en configuración geométrica que
resulta más sencilla que la configuración lineal
(Bermejo y Bermejo, 2004).
Se valora si la respuesta es
inmediata y se observa la conducta visual y los labios de
los niños con el fin de comprobar si está contando.
Se debe tener en cuenta que los niños de menos de
5 años normales cuentan 1 elemento por segundo (Resnick
y Ford, 1991), por lo tanto la respuesta debe ser rápida.
|
Tabla 2: Tareas
de subitizing |
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|
Le damos una tarjeta con pocos objetos, por ejemplo 5, y
le pedimos que nos diga cuantos hay sin contarlo, muy
rápido. La configuración de los elementos
es la misma que la de los dados con el fin de facilitar
su reconocimiento. Medimos el tiempo y observamos el
movimiento de los ojos.
T3:“Te voy a enseñar unas tarjetas con unos dibujos,
me tienes que decir cuantas cosas hay, pero sin contarlas,
de repente”.
T3c:“¿Cuántos
coches hay en este dibujo?” Respuesta: 2)
T3d:“¿Cuántas
canicas hay?”.(Respuesta: 4)
T3e:“¿Cuántas
peonzas hay en esta tarjeta? (Respuesta:5)
T3g: “¿Cuántas rosquillas hay en esta tarjeta?
(Respuesta: 6) |
5.1.3. Conteo.
El conteo existe en
todas las culturas y consiste en una secuencia estándar
de numerales (nombre de los números), posiciones del
cuerpo o gestos con los dedos o las manos que
se usan como acto indicativo de la relación de cada
etiqueta numérica con la entidad que ha sido contada.
La última etiqueta utilizada con el último
objeto pasa de ser la etiqueta de ese objeto a constituir
el significado cardinal de todo el grupo de objetos (Fuson,
1992).
Para Gelman y Gallistel (1978) el conteo es una
actividad guiada por los siguientes principios:1.-Principio
de correspondencia uno a uno: a cada objeto le corresponde
un numeral. Requiere realizar correspondencias espacial y
temporal. 2. Principio de orden estable: decir los numerales
en el mismo orden.3.Principio de cardinalidad: la palabra
final hace referencia a la cantidad de todo el conjunto.
En algunos estudios (Bermejo, 1996; Bermejo y Lago, 1990
y Bermejo, Morales y García Osuna, 2004) se pone en
duda la afirmación de que la cardinalidad sea parte
del proceso de conteo, pues existe un concepto de cardinalidad
precoz derivado del proceso de subitizing, de modo que el
conteo no es el único proceso para llegar a la cardinalidad.
En el proceso de adquisición del conteo
los niños pueden producir errores. Gelman y Gallistel
(1978) observaron que los niños de 3 años,
cuando cuentan conjuntos de 2 a 5 elementos hacen errores
que suponen contar dos veces el mismo elemento u olvidar
uno de los elementos en el 33% de los casos. A los 5
años el error tenía lugar en el 19% de los
casos. Son varios los factores que producen estos errores,
la preparación de los objetos (colocación),
el número de elementos y si se pueden tocar o mover los
elementos. El tipo más fácil de conjuntos para
contar sería un conjunto pequeño, que está colocado
en hilera y que puede ser tocado. Al salir de este prototipo
la actividad se va haciendo más difícil. Los
fallos en la conducta de contar, en los principios del conteo,
no implica necesariamente que el niño desconozca estos
principios.
Por tanto, para llegar a dominar el conteo lo niños
de todas las culturas deben aprender: la secuencia numérica,
a indicar cada elemento conectando cada entidad con una de
las etiquetas de la secuencia (hacer correspondencia), métodos
para recordar que entidades ha contado y cuales le quedan
por contar y el significado cardinal del conteo (Fuson 1992,
2000).
En la prueba de evaluación se diseñaron
diversas tareas de conteo de dificultad variable en las que
se tuvo en cuentan los errores que podían producir
los niños, así como las situaciones facilitadoras
y entorpecedoras de este proceso.
La valoración
de la secuencia numérica se lleva a cabo por medio
de cuatro tareas, conteo progresivo, conteo regresivo, decir
el número anterior y posterior y dado un numeral
x decir cual es el numeral x-1. En las tareas los números
ofrecidos por el examinador no superaban el 10.
En el conteo de objetos, y
con el fin de valorar los principios propuestos por Gelman
y Gallistel (1978), se proponen al niño tareas de
diferente nivel de dificultad. En una de las tareas se presentan
objetos que puede manipular, (ej.: 10 coches), en el resto
se utilizan tarjetas con dibujos. La tarjeta con 10 elementos
tiene también representados coches. En el resto de
las tarjetas la configuración de los elementos es
igual a la de la tarea de subitizing pero con distintos dibujos.
Después de alguna de las tareas se le pregunta ¿cuántos
hay?, para comprobar si tiene adquirida la cardinalidad tras
el conteo.
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Tabla 3: Valoración de la secuencia
numérica |
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T1a: “Me
gustaría que me enseñases como sabes
contar”. |
|
T1b:Se le
dice al niño:
- “Antes
contaste muy bien hacía adelante, 1, 2, 3, 4, ¿podrías
hacerlo ahora al revés?, ¿podrías
contar hacia atrás? Nosotros le damos
el ejemplo desde X+5 y al llegar a X paramos y le decimos, Ahora
sigue tú. Le mandamos parar en X-15. |
|
-“Ahora cuenta desde
el 10 hacia atrás”. |
|
-“Ahora desde
el 7 hacia atrás.” |
|
-“Ahora desde
el 5 hacia atrás.” |
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¿Qué número
va delante, es el anterior al 9? |
|
¿y detrás, cual es el posterior al 9? |
|
¿Qué número va delante, es el anterior
al 3? |
|
¿y detrás, cual es el posterior al 3 |
|
¿Qué número va delante, es el anterior
al 5? |
|
¿y
detrás, cual es el posterior al 5? |
|
T7a: Partimos
desde el número (Y) desde el que cuenta
de forma regresiva, si este es mayor de 10 y le preguntamos
: “¿Si a (y) le quitamos 1 cuantos quedan?
Y vamos bajando de 2 en 2, es decir ¿Si a y-2
le quitamos 1, ¿cuántos quedan?. Así hasta
3 contestaciones correctas. |
| T7b:
Si a 7 le quitamos 1 ¿Cuánto nos queda? |
|
T7c: Si a
5 le quitamos 1 ¿Cuánto nos queda? |
|
T7d: Si a
3 le quitamos 1 ¿Cuánto nos queda? |
|
Tabla 4: Valoración del conteo |
|
T2a: “Cuenta
los coches de este dibujo”.
T4a: Cuando
ha contado los elementos de la tarjeta se le vuelve
a preguntar: ¿Cuántos hay?. Para valorar si
sabe decir el cardinal . (Respuesta: 10 coches.) |
|
T2b: “Y estos, cuántos coches son?”.
Se le dejan los coches desordenados sobre la mesa. (Respuesta:
10 coches.) |
|
T2: “Estas otras ya puedes contarlas” |
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T2c:“¿Cuántos
mariposas hay en este dibujo?”.(Respuesta: 2) |
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T2e:“¿Cuántos
vasos hay en esta tarjeta?(Respuesta:5) |
|
|
|
T2g: ¿Cuántos
helados hay en esta tarjeta?. T4g: Después de
que haya contado le volvemos a preguntar ¿Cuántos
hay? Para valorar si nos dice el cardinal. (Respuesta:
6) |
En el apartado
de observaciones se recogen los errores derivados de no aplicar
el principio de orden estable o el de correspondencia uno
a uno (por ejemplo: cuenta dos veces el mismo objeto, se
salta objetos, no conoce la retahíla de números,
etc.).
Se ha considerado
que el niño había adquirido la cardinalidad
si su respuesta correspondía con el último
numeral dicho por este, correspondiese o no con la magnitud
del conjunto. No se ha distinguido entre la “verdadera respuesta
de cardinalidad” y la ”respuesta de cardinalidad parcial” a
la que ser refieren Bermejo y Lago (1991), en el segundo
caso los niños no sólo responden con el último
cardinal sino que entienden que ese cardinal representa la
numerosidad de todo el conjunto (ver Bermejo, Morales y García
de Osuna, 2004).
5.1.4. Ordenar
números.
Ordenar números
es una tarea muy común en el colegio, e implica dominar
la retahíla numérica y comprender la relación
entre los números. Aunque en el R.D. del curriculum
de Educación Infantil no se establece que se deba
aprender a leer y escribir números, la escritura y
lectura de números es uno de los contenidos que aparecen
en los textos de Educación Infantil, trabajándose
hasta el 10 a nivel escrito.
Para valorar esta
habilidad se le presentan los números escritos en
unas tarjetas para que pueda manipularlos al ordenarlos y
siempre tenga el estímulo delante. No se le presenta
de forma escrita pues queremos evitar confundir las dificultades
para escribir o las limitaciones de la memoria de trabajo
con la comprensión de esta tarea. Otra de las tareas
a las que se debían enfrentar los niños era
la de ordenar por tamaños unos lápices representados
en tarjetas.
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Tabla 5: Ordenar números |
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Antes de
hacer la tarea que nos interesa recogeremos información
sobre la lectura de números, para lo cual le vamos
poniendo los números sobre la mesa y le pedimos “Dime
qué números son los que te voy enseñando”.
5 2 7 4 9 8
Cuando estén
todos sobre la mesa se le dice:
T14a: “Ordena
de mayor a menor estos números, el más
grande lo pones aquí (señalamos su izquierda)
y el más pequeño aquí (señalamos
su derecha)”. |
|
|
|
T14 b: “Ordena
estos lapiceros por su tamaño, de menor a mayor” |
|
5.1.5. Escritura
y lectura de números.
Se valoró mediante
un dictado de números menores de 10 y una tarea en
la que se le pedía al niño que escribiese números
por orden hasta donde supiese, estas dos tareas también
han sido incorporadas por Fayol, Barrouillet y Marinthe (1998)
a la batería de pruebas empleadas por ellos en la
detección precoz de Dificultades de Aprendizaje. La
lectura se evaluó pidiéndole que leyese los
números impresos en las tarjetas que se le mostraban
en la actividad de ordenar.
5.1.6. Descomposición.
La descomposición
de números nos permite valorar si el niño ha
adquirido la competencia de ver el número bajo una
perspectiva parte-todo. Este entendimiento es crucial en
el desarrollo de la comprensión del número
(Fuson y Briars, 1990). Guzmán (1994) anima a los
profesores a que no retarden las tareas de descomposición
de números. Una de las tareas que se suele proponer
a los niños a estas edades son los diagramas de Venn,
en los que se le pide al niño que pongan el numeral
correspondiente al número de objetos que hay en el
diagrama. Con el fin de dar un paso más y realizar
una tarea que implique lo que Resnick (1989) llama esquemas
protocuantitativos de la relación parte-todo le proponemos
al niño un diagrama de Venn en el que el numeral ya
está escrito pero no corresponde con el número
de objetos dibujados, por lo que el niño debe dibujar
los que faltan (tabla 6).
|
Tabla 6. Descomposición
de números |
|
T6a: Le presentamos los diagramas de Venn y le decimos: “Dibuja en
el círculo las cosas que faltan para que
este bien el número que está escrito
en el cuadrado” .
Si no entiende la tarea le decimos “Mira este número, ¿está bien
puesto?”......Si no responde: cuántos “x” hay
en el dibujo, ¿está bien?...... Bueno,
pues dibuja las cosas que faltan para que este número
este bien”. |
5.2. Cálculo.
En
el curriculum de Educación Infantil se recoge el uso
de cálculos sencillos en los niños de estas
edades. Cálculos que impliquen “quitar” y “poner”.
Pues la concepción de niño sobre la numeración
todavía está anclada en la secuencia numérica.
A la vez que la suma y la resta son entendidas como un conjunto
al que se le quitan o ponen elementos, no como la unión
de dos conjuntos (Bermejo y Bermejo, 2004 ; Resnick,1989).
Entre los 5 y los
6 años la mayoría de los niños resuelven
tareas simples de sustracción siempre que dispongan
de objetos físicos que les permitan representar tanto
los términos del problema como las relaciones entre
los mismos, en estas edades suelen utilizar las estrategias
de “separación de”, “separar a”, “añadir
a” y de “emparejamiento” que requieren la presencia de objetos
físicos (Carpenter y Moser, 1983; Bermejo, 1990).
5.2.1. Algoritmos.
La evaluación
del dominio de los algoritmos se ha realizado en todos los
casos como parte de la resolución de problemas verbales,
por lo que si el niño no sabe resolver algún
problema el evaluador le indica que operación debe
aplicar, de modo que se pueda valorar el manejo de todas
las operaciones.
En esta etapa los
cálculos implican la suma y la resta con números
menores de 10, facilitando el empleo del apoyo digital (ver
tabla 10). También se ha introducido la división
como reparto (tabla 7).
La secuencia seguida en el caso de la suma y la
resta ha sido el siguiente: 1.- Se le lee al niño
el problema verbal y se deja que este lo resuelva como quiera
(ayudándose con los dedos, haciendo rayitas, etc.).
2.- Cuando ha intentado responder a los seis problemas se
le vuelve a repetir los problemas a la vez que se pone el
material manipulativo sobre el que versa el problema sobre
la mesa y se le dice que puede utilizarlo para responder.
Introducimos la utilización de objetos después
de que el niño haya intentando responder por medio
de otros procedimientos, pues si bien el material manipulativo
facilitan la representación y la comprensión
del problema también puede inducir al uso de estrategias
más simples en aquellos alumnos que podrían hacer
uso de otras más evolucionadas (Bermejo y Rodríguez,
1990).
|
Tabla 7:
División como reparto |
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T11a: Se
le presenta a los muñecos por su nombre: Este
es....., este es ..... y este/a es .... (Minnie, Donald,
Micky o Pluto), tenemos que repartir estos 12 rotuladores
entre estos tres muñecos, de forma que
los tres tengan el mismo número de rotuladores,
tengan la misma cantidad” |
|
T11b: “Ahora
vamos a repartir estos 8 coches entre estos dos muñecos (Minnie,
Donald, Micky o Pluto), de forma que los dos
tengan el mismo número de coches, tengan la
misma cantidad” |
5.2.2. Cálculo
mental y estrategias de cálculo.
En
este apartado queremos valorar la capacidad del niño
de hacer cálculos sin ayuda del lápiz y el
papel, así como el tipo de estrategia que emplea para
alcanzar la respuesta. Los
niños pueden llegar a la respuesta por medio del cálculo
mental o por medio del conteo (con o sin apoyo digital).
Para conocer estas estrategias hemos tenido que aplicar técnicas
de observación y entrevista. El procedimiento empleado
ha sido utilizado en diversas investigaciones (Bull y Johnston,
1997; Geary, Hoard y Hamson, 2000; Ostad, 1999; Siegler,
1988). En estos estudios se les pide a los niños que
describan lo que han hecho después de haber respondido
a un problema, y se les solicitan aclaraciones cuando contesta
sin dar muchos detalles. Durante la resolución de
problemas el evaluador también debe vigilar las indicaciones
físicas de conteo tales como movimientos de dedos
o labios. Por cada tarea el evaluador inicialmente clasificaba
la estrategia como conteo con dedos o conteo verbal dependiendo
si el niño usaba o no sus dedos para contar. Si el
niño respondía rápidamente sin indecisión
y sin movimientos relacionados con el conteo entonces la
tarea era clasificada como recuerdo. Si cuando se interroga
al niño la respuesta de éste (por ejemplo: “lo
sabía”) difiere de las observaciones del evaluador
(por ejemplo: vio al niño mover los labios contando) éste
anota desacuerdo entre el niño y el evaluador. Si
el conteo es evidente entonces el evaluador lo clasifica
esto como estrategia de conteo.
Las estrategias empleadas han sido clasificadas siguiendo la
tipología de Carpenter y Moser (1983) y de Bermejo
(1990) que recogemos en las tablas 8 y 9.
|
|
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Parte de la
representación del minuendo |
quitando
objetos |
Separar
de: es este caso, se representa con objetos
primeramente el minuendo, quitando de la misma el
substraendo, por ejemplo ante 9-4, pone 9 dedos,
quita 4 dedos y cuenta los sobrantes, la respuesta
es 5.
Separar
a: se van quitando objetos o dedos del minuendo
hasta que quedan sólo la cantidad del substraendo,
los objetos que se van quitando se cuentan para encontrar
la respuesta. Por ejemplo en 9-4, pone 9 dedos
y va quitando dedos hasta que quedan 4,dice “8,7,6,5,4”,
cuenta los dedos quitados “1,2,3,4,5”, la respuesta
es 5 |
|
añadiendo
objetos |
Añadir
a: Se forma primeramente el conjunto mayor, después
se hace el conjunto menor y luego se añaden
objetos hasta igualar al conjunto mayor y se cuenta
los objetos que fueron necesarios. Por ejemplo en
9-4, se ponen 4 dedos y se añaden dedos hasta
que se tienen 9, luego se cuentan los añadidos, “1,2,3,4,5”. |
| |
Emparejamiento: el niño
forma dos conjuntos que representan los términos
de la resta, hace correspondencia uno a uno, el resultado
es el número de objetos no emparejados |
|
No representa
el minuendo. |
conteo regresivo |
Contar
hacia atrás a partir de: se cuenta desde el número
minuendo y se va retrocediendo tanta veces como el
substraendo, por ejemplo en 9-4, se retrocede 4 veces
desde el 9 “ 8,7,6,5”, respuesta 5.
Contar
hacia atrás: se cuenta hacia atrás
hasta que se llegue a la cantidad del substraendo,
y se cuentan los objetos o dedos necesarios para
llegar a la respuesta. Por ejemplo en 9-4, se va
retrocediendo hasta el “8,7,6,5,4”, tras lo cual
se cuentan cuantas veces se ha bajado que en este
caso son 5. |
|
conteo progre-sivo |
Contar
a partir de lo dado: se cuenta desde el número
más pequeño hasta que se alcance el
mayor, contando la cantidad de numerales que emite
se obtiene la respuesta. Por ejemplo 9-4, cuenta “5,6,7,8,9”,
como se han tenido que añadir 5 la respuesta
es 5. |
|
Elección: se elige la estrategia de contar “Contar
hacia atrás a partir de” o “Contar a partir
de lo dado” en función de la eficacia de cada
estrategia, por ejemplo el primer caso se elegiría
ante 82-7 y la segunda ante 9-7. |
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Tabla 9: Tipos de estrategias para la
suma.
Bermejo (1990) |
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Contar todo: representan ambos sumandos y cuentas
todos los elementos. |
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Contar a partir del primero: cuentan a partir del primer sumando dado.
Ej. 2+6, representan el 6 y cuentan 3,4,5,6,7,8. |
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Contar a partir del mayor: hacen lo mismo que antes, pero esta vez
eligen contar a partir del número mayor. |
5.3. Problemas.
Antes de seleccionar los problemas a los que deben enfrentarse
los niños conviene tener en cuenta los factores que
influyen en su dificultad. Gran parte de la dificultad de
la resolución de problemas verbales de matemáticas
se debe a la dificultad en comprender el enunciado más
que a las operaciones que hay que poner en práctica.
Así mismo aumenta la dificultad si es necesario tener
en cuenta muchos elementos o pasos y la memoria de trabajo
se ve desbordada (Resnick y Ford, 1991).
En las instrucciones del Ministerio de Educación
y Ciencia (1992b) no se hace referencia al tipo de problemas
que se deben introducir en cada etapa, simplemente se refiere
al tipo de operaciones, por ello hemos seleccionado los problemas
en función de la información procedente de
las investigaciones al respecto.
La dificultad de los problemas de adición
y sustracción dependen de cuatro factores: el tipo
de estructura semántica del problema, el lugar de
la incógnita, la magnitud de los cardinales propuestos
(Bermejo, 1990; Bermejo, Lago y Rodríguez, 1998) así como
de la familiaridad e interés del problema (Ginsburg,
Klein y Starkey, 1998).
La estructura semántica
que hemos elegido para todos los problemas es la de cambio,
pues es la más sencillas y puede ser resuelta por
los niños de Educación Infantil (Bermejo,
Lago y Rodríguez, 1998, Bermejo y Rodríguez,
1990. Para facilitar sus resolución el
lugar de la incógnita está en el resultado,
los números son menores de 10 y la temática
es familiar.
|
Tabla 10 : Problemas de adición
o substracción de Educación Infantil. |
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Problemas de cambio con números
menores de 10. |
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T8a: Si tienes
2 canicas y después te doy 4 canicas. ¿cuántas
tienes en total?. |
|
T8b: María
tenía 5 rotuladores y su hermano le da 3. ¿Cuántos
rotuladores tiene ahora María?. |
|
T8c: Laura
tenía 2 coches y su amigo Pedro le regala
6 ¿Cuántos coches tiene ahora Laura?. |
|
T9a: Si tenemos
9 globos y explotan 6 ¿cuántos globos
nos quedan?. |
|
T9b: Juan
tiene 8 canicas. Da 5 canicas a Tomás. ¿Cuántas
canicas tiene ahora Juan? |
|
T9c: Alicia
tenía 4 caramelos y se comió 2
. ¿Cuántos caramelos tiene ahora?. |
Como hemos comentado
antes los niños desde los 3 años son capaces
de repartir un conjunto de objetos en grupos iguales, se
puede considerar esta actividad una división informal.
Y eso es lo que hemos pedido a los niños de esa etapa
educativa (la tarea se encuentra descrita en la tabla 7).
5.4. Análisis
del tipo de errores.
En
este análisis hemos seguido la clasificación
propuesta por Bermejo y Rodríguez (1992), quienes
dividen los errores en conceptuales, de procedimiento y de
utilización (siguiendo el modelo de Greeno, Riley
y Gelman de 1984). Las características de cada uno
de estos serían las siguientes:
a) Errores en la competencia conceptual:
los niños poseen un conocimiento incompleto del algoritmo
y las reglas y principios que las rigen. Se encontraría
dentro de este tipo de respuesta contestar cualquier cosa
o repetir una de las cantidades de la operación.
b) Errores en la competencia de procedimiento:
los fallos se situarían en la elección de la
estrategia para resolver la tarea, por ejemplo al intentar
representar los elementos de la operación con los
dedos de la mano cuando los números son mayores de
10.
c) Errores en la utilización (en
la prueba a este tipo se le llama de ejecución): el
error se produce al poner en marcha un procedimiento adecuado,
como por ejemplo contar para sumar pero confundirse al hacerlo.
6. Análisis de fiabilidad
y correlación.
En el análisis de fiabilidad de la Prueba
de Educación Infantil el Alpha Estandarizado es igual
a 0´8662.
La correlación entre los resultados totales
en la prueba de Educación Infantil aplicada al principio
de 1º y a principios de 2º es de 0´81, y
con los resultados a principios de 3º es de 0´611.
Esta correlación es inferior debido al efecto techo
de la prueba. Pero la correlación entre los resultados
de esta prueba a principios de 1º con una prueba de
valoración de la competencia curricular del Primer
Ciclo de Educación Primaria aplicada al principio
de 3º es de 0´858.
Es por tanto un instrumento útil para predecir
el rendimiento futuro de nuestros alumnos, que además
nos permitirá gracias a su análisis cualitativo
de las respuestas diseñar estrategias de instrucción
que permitan que los niños superen sus dificultades,
o por lo menos no vayan acumulándolas hasta el final
del primer ciclo sin una intervención precoz.
7.-
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Autores:
Vicente Bermejo Fernández
bermejo@psi.ucm.es
Fue discípulo de Piaget y profesor durante varios años
en la Facultad de Psicología de Ginebra. Actualmente
es catedrático de psicología evolutiva y de
la educación en la Facultad de Psicología de
la Universidad Complutense de Madrid, en donde lleva investigando
más de dos décadas sobre la enseñanza-aprendizaje
de las matemáticas en el niño. Ha publicado
varios libros (El niño y la aritmética, Aprendiendo
a contar, PEI: Un programa de intervención para la
mejora del rendimiento matemático, Cómo enseñar
matemáticas para aprender mejor, etc.) y decenas de
artículos en revistas nacionales e internacionales.
Margarita Blanco Pérez
mblanc5@serbal.pntic.mec.es
Licenciada con grado en Psicología
por la Universidad Pontificia de Salamanca. Especialista
en Psicología del Lenguaje. Cuenta con experiencia
docente en Educación Primaria y Secundaria y actualmente
trabaja como Orientadora en el E.O.E.P. de Tordesillas.
Próximamente defenderá su tesis doctoral “Dificultades
específicas del aprendizaje de las matemáticas
en los primeros años de escolaridad: detección
precoz y características evolutivas” en la Universidad
de Valladolid. En el año 1999 obtuvo una mención
Honorífica en los PREMIOS NACIONALES A
LA INNOVACCIÓN EDUCATIVA 1999 por su trabajo: “Desarrollo
de un instrumento de evaluación, diagnóstico
y orientación curricular del área de matemáticas
en los primeros años de escolaridad: Prueba Evolutivo-Curricular
de Matemáticas de Tordesillas (PRECUMAT)”.
