Los niños
nacen matemáticos: Animando y promoviendo el desarrollo
temprano de los conceptos matemáticos en niños
menores de cinco años
Dr. Eugenio Geist
Universidad de Ohio
108Tupper Hall
Athens, Ohio 45701
Los niños, desde el día que nacen, son matemáticos. Constantemente
están construyendo el conocimiento cuando interactúan
mental, física, y socialmente con su ambiente y con
los demás. Aunque los niños pequeños
no puedan sumar o restar, las relaciones que hacen y su interacción
con un entorno estimulante promueven en ellos la construcción
de los cimientos y el armazón de lo que serán
en el futuro los conceptos matemáticos. Incluso,
hay alguna evidencia de que algunos conceptos matemáticos
pueden ser innatos.
Quizás
es el momento de que empecemos a considerar la construcción
de los conceptos matemáticos de la misma manera que
hacemos con el desarrollo de la lectura - como emergente. La
idea de que el aprendizaje de la lectura empieza el día
que los niños nacen es ampliamente aceptada entre los
profesionales de la educación temprana. Los niños
aprenden el idioma escuchando, y, posteriormente, hablándolo
y escribiéndolo y a este aprendizaje del idioma ayuda
el "dispositivo de adquisición del idioma" innato que
actúa como un esquema para el desarrollo gramatical
y aprendizaje del idioma. Se sabe que leer a los bebés, niños
pequeños y preescolares puede ser unpredictor temprano
de lectura positiva porque estas actividades promueven y apoyan
el aprendizaje de la lectura y la escritura al sumergir
a los niños en el idioma y darles una oportunidad para
interactuar con él.
Yo propongo que así comoChomsky ha demostrado fuertes
evidencias de un "dispositivo de adquisición del idioma" innato
que proporciona a los humanos un marco de referencia para aprender
el idioma, hay también un "dispositivo de adquisición
de las matemáticas" que proporciona un marco de
referencia para los conceptos matemáticos.
Si
tal dispositivo estuviera presente, nosotros podríamos
esperar que los niños:
1) adquieran naturalmente los conceptos matemáticos
sin necesidad de enseñanza directa,
2) sigan una sucesión generalmente estándar
de desarrollo gradual, y
3) más importante, podríamos esperar ver evidencias
de la construcción de conceptos matemáticos desde
una edad muy temprana.
Permítanme tomar estos puntos por orden e intentar
ofrecer evidencia para cada uno de ellos.
1) adquieran naturalmente los conceptos matemáticos
sin necesidad de enseñanza directa,
Al
examinar detenidamente a niños pequeños y sobre
todo a bebés, observamos que muchos de los fundamentos
de las matemáticas no se les enseñan directamente
a los niños. De hecho, yo desafío a cualquiera
a proponer una manera factible de lograr esta tarea con niños
de 4 años y menores. No, la manera que estos niños
aprenden estos conceptos es a través de la construcción
e interacción con su entorno. Los maestros pueden
ayudar preparando un entorno interesante y estimulante; la
mente del niño está activamente haciendo todo
tipo de relaciones y las está organizando en conceptos
que se convertirán más adelante en matemáticas.
La
mente del niño parece saber qué tiene que hacer
y todos los niños normales parecen no tener dificultad
alguna para construir conceptos de número, seriación
por orden, o clasificación, mucho antes de que se les
enseñe. Los niños empiezan a construir los cimientos
de futuros conceptos matemáticos durante los primeros
meses de vida. Antes de que un niño pueda sumar
o contar, debe construir las ideas sobre las matemáticas
que no se le enseñan directamente. Ideas que más
adelante apoyarán las matemáticas formales como
el orden y secuencia, seriación, comparaciones, y clasificaciones
que empiezan a surgir ya desde la infancia.
La idea aparentemente simple de que los números tienen
una cantidad vinculada a ellos realmente es una relación
compleja que los niños deben construir. Este concepto
es la base para las matemáticas formales y es una síntesis
de orden que es la comprensión básica de que
los objetos se cuentan en una sucesión específica
y cada objeto sólo se cuenta una vez; la seriación
que es la habilidad de poner un objeto o grupo de objetos en
una serie lógica basada en una propiedad del objeto
u objetos; y clasificación que es la habilidad de agrupar
objetos similares en grupos, según una característica
específica. Esta síntesis se realiza cuando
los niños interactúan con los objetos y los ubican
en muchos tipos diferentes de relaciones.
Aun los niños muy pequeños pueden usar su incipiente
comprensión de lo que es orden, seriación, clasificación,
y su habilidad natural para resolver problemas. Yo he
observado a un niño de 18 meses que jugaba en una gran
piscina llena de pelotas de diferentes colores. El niño
tiró fuera una pelota, luego una segunda pelota, y después
otra más. El niño fue entonces al lado
opuesto de la piscina y tiró fuera dos pelotas. Entonces,
regresó al primer lado, reexaminó la agrupación
de pelotas que había tirado, volvió al otro lado
y dejó caer otra pelota para hacer un grupo de tres.
Puede
que esto no impresione a los adultos pero para un niño
de 18 meses, la coordinación y comparación de
grupos de tres en lados opuestos de una estructura es evidencia
de que este niño está construyendo una relación
matemática. No es todavía una relación
numérica porque el niño está usando su
percepción visual para hacer el juicio de lo que es "igual" o "diferente".
Sin embargo, la coordinación de tirar tres pelotas cada
vez es evidencia de su comprensión de "más" y "menos" y
de igualdad básica. El niño puede no estar
listo en su desarrollo para contar y cuantificar, pero esta
tarea simple demuestra que los niños tan pequeños,
como los de 18 meses, pueden hacer algunas relaciones matemáticas
rudimentarias. Los maestros de bebés y niños
pequeños necesitan estar conscientes de estas acciones
y habilidades y ayudar, proporcionando actividades que permitan
la construcción de estos conceptos matemáticos. Actividades
que animen a los niños a hacer muchas relaciones diferentes
entre los objetos, para interactuar con otros niños
y adultos, y a actuar mental y físicamente con los objetos
que promuevan este tipo de construcción.
Aunque
estos conceptos matemáticos básicos no pueden
y no deben enseñarse directamente, los educadores de
niños pequeños deben dar importancia y
animar a la interacción de los niños con su entorno,
como una manera de promover y animar los conceptos matemáticos
emergentes. La lógica y el pensamiento matemático
de los niños se desarrollan ejercitándolo y estimulándolo. Los
maestros que animan a los niños a ubicar objetos en
toda clase de relaciones también están promoviendo
la comprensión emergente de las matemáticas en
los niños.
Si
nos aseguramos que los niños desde el nacimiento hasta
los cuatro años tienen acceso a un entorno estimulante
y a oportunidades de establecer muchos tipos diferentes de
relaciones ya en los primeros meses de vida podemos apoyar
la comprensión matemática emergente de los niños. Los
maestros en programas de educación infantil y preescolar
pueden hacer varias cosas, como mostrar objetos para comparar,
usar el ritmo y la música, modelar la conducta matemática,
e incorporar las matemáticas en cada actividad del día,
para facilitar el desarrollo del matemático emergente
que hay en cada niño. No se pueden enseñar
directamente los marcos básicos de referencia para las
matemáticas pero su desarrollo puede promoverse fácilmente
en el aula.
2) sigan una sucesión generalmente estándar
de desarrollo gradual
Como
con muchas teorías de desarrollo, nosotros esperaríamos
un modelo de desarrollo natural para cosas que son resultado
del desarrollo del cerebro en vez de lainternalización
de la enseñanza externa. Esto es exactamente lo
que nosotros vemos en las matemáticas. De hecho,
nosotros vemos relaciones en matemáticas similares a
la manera es que se desarrolla el idioma. ¿Así que
nosotros vemos el desarrollo de una sucesión natural
en las matemáticas? Sí nosotros la vemos.
Un
ejemplo de esto es una interacción que tuve con una
niña de tres años. Sus padres le habían
pedido que me dijera los números y ella contaba correctamente
hasta 20 sin error. Entonces, saqué 20 monedas
de un centavo que casualmente llevaba en mi bolsillo y le pedí que
las repartiese de modo que los dos tuviéramos el mismo
número de monedas. Ella miró el montón
de monedas, lo dividió en dos y me dio uno de los montones,
quedándose con el resto. Mi montón tenía
12 monedas y el de ella 8. Le pregunté cómo sabía
que teníamos la misma cantidad de monedas y entonces
ella intentó contarlas apuntando al montón y
diciendo "uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete". Sin
embargo, ella aún no tenía una comprensión
de la importancia de orden, y por consiguiente, contaba algunas
monedas dos veces y no contó otras. Entonces le pedí que
contara su montón y ella contó diez. Cuando
le pregunté de nuevo si teníamos la misma cantidad
de monedas, ella hizo otro inventario visual rápido
y contestó "sí." Entonces yo
hice una fila sobre la mesa con mis ocho monedas y le pedí que
hiciera una fila con el mismo número de monedas. Ella
tomó el resto de las monedas (12) e hizo una fila debajo
de la mía. Yo le pregunté de nuevo si había
el mismo número de centavos en cada fila. Ella contaba
su fila y contestó "sí, vea, uno, dos, tres,
cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez",,. Yo
le pedí que contara el mío y ella llegó hasta
ocho. Yo le pregunté de nuevo si las filas tenían
el mismo número de monedas y ella contestó de
nuevo "Sí."
Éste
es un buen ejemplo de un niño que no puede todavía
coordinar orden, clasificación, y seriación y
por consiguiente, no puede ubicar los centavos en una relación
de "cantidad." Los niños de hasta dos
años pueden llegar a contar hasta 10 o incluso 20, pero
si no vinculan su cuenta a la cuantificación no han
hecho nada que sea diferente de memorizar el "ABC" o
una lista de nombres como "Bob", "Joe",
y "Sara." Por eso esta niña no pudo
establecer una relación numérica entre los dos
grupos de objetos.
La
niña usó las señales visuales para estimar
la igualdad y diferencia de los grupos en vez de usar el número. Su
lógica y su habilidad para resolver problemas todavía
están sujetos a la percepción. Sin embargo,
cuando ella interactúe continuamente con los objetos
y con otros niños y adultos, ella comprenderá los
límites de la solución que dio y empezará a
construir nuevas maneras de resolver el problema. Este
tipo de confusión o lo que Piaget llamaba el "desequilibrio" (Piaget,
1969) es lo que lleva al niño a hacer más construcciones
y fortalecer su comprensión de los conceptos matemáticos.
Ocho
meses después, tuve una nueva oportunidad de interactuar
con la misma niña. Nuevamente jugamos el juego
de las monedas. Esta vez, cuando le pedí que dividiera
los centavos ella usó un método de correspondencia
uno a uno. Ella me dio una moneda y separó otra
para ella hasta que repartió todas las monedas. Cuando
yo le pregunté cómo sabía que teníamos
el mismo número, ella contó cada moneda en un
orden específico y sólo una vez para encontrar
la respuesta correcta.
Entonces,
puse todos las monedas en un solo montón y le mostré una
nueva moneda que agregué al montón. Yo
le pregunté si ella había visto lo que yo había
hecho y ella dijo, "¡Sí, usted agregó un
centavo más!" Yo le pedí entonces
que encontrara una manera de dividir las monedas, asegurándose
de que los dos teníamos el mismo número. Ella
usó el mismo método de correspondencia uno-a-uno
que había usado previamente. Yo le pregunté si
teníamos el mismo número de monedas y ella contestó, "Sí." Yo
le pedí que las contara y cuando resultó que
yo tenía una más se quedó bastante perpleja. Ella
no podía entender qué había pasado.
La
niña había hecho progresos significativos en
su comprensión de los conceptos matemáticos básicos. Su
método de dividir las monedas ya no era visual. Ella
utilizaba los conceptos de número para resolver el problema. Sin
embargo, su comprensión de este concepto matemático
todavía era débil y se desplomó cuando
se le presentó un reto muy difícil.
3) más importante, podríamos esperar ver
evidencias de la construcción de conceptos matemáticos
desde una edad muy temprana.
Y podemos verlas. Nosotros observamos a niños
pequeños ordenando objetos, apilando objetos, y golpéandolos
uno contra el otro. ¿Que eso no son matemáticas? Bien,
quizá no de la manera en que pensamos los adultos, pero
hay que recordar que los niños pequeños todavía
están construyendo el concepto de número y, más
básicamente, el concepto de "uno". Piense
por un momento cómo enseñaría el concepto
de uno a un niño pequeño. Yo no puedo pensar
en una manera. Finalmente casi todos niños sin
un defecto mental serio logran esta tarea (y muchas otras),
y aún tareas que no les hemos enseñado.
Así que si pensamos en las matemáticas como
una habilidad innata y asumimos que los niños tienen
un "Dispositivo de Adquisición de las Matemáticas" en
su mente, esto no significa que podemos dejar de enseñar
matemáticas a los niños, sino que significa que
tenemos que reexaminar algunas de las maneras en que enseñamos
matemáticas.
Aunque
haya una secuencia común de contenidos y los niños
tengan este dispositivo de adquisición, todos los niños
son diferentes. Aprenden a diferentes ritmos, tienen
intereses y talentos diferentes, diferentes modos de aprender,
y cuando llegan al aula están en niveles diferentes
de comprensión de las matemáticas. El currículo
para los niños pequeños debe amoldarse y personalizarse
para satisfacer las necesidades de todos los niños en
cualquier aula. Debe ser flexible y adaptable para que
el maestro pueda usar lo que los niños ya saben para
crear un programa de matemáticas para el nivel en que
están los niños y que estimule la construcción
de una comprensión matemática más compleja
Si pensamos en matemáticas en términos de desarrollo
y del "Dispositivo de Adquisición de las Matemáticas", ¿cómo
veríamos a los niños interactuar con las matemáticas? Pues
bien, nosotros veríamos a niños que hacen matemáticas
de manera independiente. Y los vemos. Los niños
pequeños se deleitan ordenando e incluso contando cuando
estas actividades no son parte de una lección formal. Ellos
aman los juegos y enigmas de los que las matemáticas
son parte central. Lo mejor que los adultos pueden hacer
para desarrollar el amor por las matemáticas en los
niños es quitarse de en medio. Los niños
desarrollan fobias y actitudes negativas hacia las matemáticas
debido a las cosas que hacen los adultos y maestros, como ponerles
exámenes de alto nivel o pruebas cronometradas.
Los niños desarrollarán los conceptos sin necesidad
de enseñanza directa. Los niños, al usar
su habilidad natural para pensar y su proclividad por las matemáticas
desarrollarán los conceptos matemáticos naturalmente. Esto
no significa que los adultos no tengamos un papel que cumplir,
lo tenemos y es muy importante. Pero ese papel es más
como un facilitador que como un maestro.
Nosotros vemos a niños que usan las matemáticas
para encontrarle sentido a su mundo. Se acepta que las
matemáticas son un idioma universal. Incluso,
asumimos que los extraterrestres pueden haber construido las
mismas matemáticas que nosotros. Y así como
los físicos usan las matemáticas para entender
el universo, los niños usan las matemáticas para
entender su mundo. Incluso los bebés entienden
el concepto de "más". Este es uno de los primeros
conceptos matemáticos que ellos construyen. Incluso
los niños de seis meses pueden informar a sus padres
o cuidadores que quieren más comida o más
leche.
Así, si nosotros vamos a cambiar la manera en que pensamos
sobre las matemáticas y cómo las enseñamos
a los niños pequeños y si existe el "Dispositivo
de Adquisición de las Matemáticas", cabe preguntarse
qué cambios haríamos en la enseñanza de las
matemáticas a niños pequeños. Bien,
primeramente, empezaríamos a tratar a los niños
pequeños como jóvenes matemáticos. En
lugar de sentarlos en filas y hacerlos memorizar, intentaríamos
hacerles inventar o descubrir conceptos y nuevas ideas matemáticas
de la misma manera que los matemáticos resuelven los
problemas más complejos. ¿Así que
cuáles son algunas de estas maneras en que trabajan
los matemáticos "de verdad"?
Los matemáticos a menudo trabajan durante largo
tiempo en un mismo problema
Los
matemáticos pueden pasarse meses y años pensando
y trabajando en un sólo problema. También
debe darse a los estudiantes tiempo suficiente para trabajar
en un problema. Para hacer esto, se debe presentar a los estudiantes
menos problemas y daría más tiempo para trabajar
en ellos. reforzando su habilidad para resolver problemas.
Los matemáticos colaboran con sus colegas y estudian
el trabajo de otros
La
interacción social es uno de las partes más importantes
de ser un matemático. Un aula de matemáticas,
sobre todo una en que se considera a los estudiantes como jóvenes
matemáticos, debe ofrecer muchas oportunidades para
la interacción social.
Normalmente, no se anima a los niños a defender una
solución o a colaborar en la solución de un problema. En
cambio se les dan hojas individuales de ejercicios y se les
pide que los resuelvan calladamente (Fosnot, 1989).
Si
vamos a ver a los niños como jóvenes matemáticos,
debemos permitirles colaborar, discutir, consultar, defender,
preguntar, explicar, y proponer a, y con, otros estudiantes
usando ideas matemáticas. Los niños construyen
su comprensión matemática a través de
este tipo de interacción social. Sin esta interacción,
los niños simplemente memorizan cómo conseguir
una cierta solución sin desarrollar su comprensión.
Los Matemáticos deben demostrar que para ellos su
solución es la correcta.
Los
matemáticos deben cuestionar los supuestos y deben entender
las matemáticas detrás de una respuesta. Los
matemáticos deben demostrarse a sí mismos y a
los demás que su solución es la correcta. Si
se enseña a los estudiantes meramente a memorizar las
respuestas y apoyarse constantemente en un maestro para decirles
si están en lo correcto o no, les alejamos de la oportunidad
de demostrar que su solución es la correcta.
Los problemas en que trabajan los matemáticos son
complejos
Los
problemas complejos promueven el desarrollo de la habilidad
para resolver problemas. Los niños, como los matemáticos,
deben verse inmersos en problemas complejos que requieran el
uso de sus habilidades para resolverlos y del pensamiento numérico
complejo. Los buenos problemas requieren que los estudiantes
encuentren soluciones innovadoras al problema sin tener un
límite de tiempo fijo para su proceso del pensamiento
(Wakefield, 1997). Los Problemas pueden y deben iniciar la
discusión y el desacuerdo entre los niños.
Los matemáticos obtienen satisfacción del
proceso
Los
niños entenderán mejor los conceptos y procedimientos
matemáticos si se les permite usar su propio proceso
del pensamiento para explorar las matemáticas (Kamii,
Lewis, &Jones, 1993). Esto les permite hacer conexiones
entre lo que ellos ya saben y sus experiencias de la vida real.
En
el proceso de discutir y comparar los diferentes métodos
que usan los niños para encontrar soluciones, los
niños fortalecen su comprensión de los conceptos
y procedimientos.
Los matemáticos sienten orgullo al encontrar la
solución a un problema
Los
niños pueden entusiasmarse por un problema de matemáticas
y los niños encuentran placer y emoción en la
solución de problemas (Universidad de Chicago, 1998).
Si se permite a los niños pensar por sí mismos
y discutir y defender sus ideas, las matemáticas se
vuelve tan divertidas como el intentar ganar en un video juego
difícil o resolver un enigma.
Los
matemáticos usan sus esfuerzos fallidos para preparar
el camino hacia las soluciones
Para
tratar a los niños como matemáticos, ellos deben
comprender que tienen que hacer muchos intentos diferentes
antes de encontrar una solución. Hay que hacer énfasis
en el valioso pensamiento matemático que se está desarrollando
en la mente del niño. Debe explicarse a los niños
que los esfuerzos aparentemente infructuosos y los errores
nos pueden servir para encontrar el camino a la solución
correcta de un problema.
Los
niños tienen curiosidad e interés natural por
la exploración y la comprensión que se puede
aplicar al aprendizaje de las matemáticas. Si
se anima a los niños a que actúen como jóvenes
matemáticos y usen su habilidad natural para pensar
y así poder atacar y resolver los problemas, como vemos
que ocurre en las aulas de Japón, las matemáticas
no se vuelven un deber sino un desafío al estudiante
(Wakefield, 1997).
Conseguir
que los alumnos se emocionen con las matemáticas debe
ser la meta de cada maestro de matemáticas. Desde
la educación infantil se debe tratar a los niños
como si fueran jóvenes matemáticos. Este
cambio filosófico no se consigue poniendo más énfasis
en la habilidad y métodos de repetición o agregando
más exámenes (Kelly, 1999). Se requiere un proceso
deliberado de cambio en la forma de ver y tratar a los niños
en las aulas. (Bay, Reys, & Reys, 1999).
Debemos tratar a los niños como matemáticos
desde el principio. Nosotros podemos ayudar a desarrollar
las habilidades del pensamiento matemático requeridas
ofreciendo los materiales y experiencias que ayuden a crear
una base sólida para el futuro aprendizaje matemático.
Así que vamos a echar un vistazo a algunas cosas que
los maestros pueden hacer para promover las matemáticas
en los niños pequeños.
Del nacimiento a los dos años
Los
bebés y niños muy pequeños están
explorando su entorno utilizando sus sentidos. Piaget
(1969) llamó a este período la fase senso-motora
porque en ella los niños exploran y aprenden sobre su
ambiente a través de la actividad motriz y tocando,
viendo, saboreando y oyendo. Puede parecernos que no
hay construcción matemática en esta etapa,
sin embargo, los niños empiezan a establecer relaciones
entre objetos cuando empiezan a construir maneras de clasificar,
seriar, comparar y ordenar objetos. La clasificación
requiere de la habilidad del niño para comparar objetos
y organizarlos en grupos de características similares.
La clasificación es una base importante para los conceptos
matemáticos futuros como el comparar grupos de números
y la cuantificación.
El
ritmo y la música
El ritmo y las actividades y materiales musicales son excelentes
para promover el desarrollo de las matemáticas. El uso
de los bongos puede ayudar a los niños a experimentar
con las matemáticas. El maestro y el niño se
pueden turnar para repetir el ritmo marcado por el otro, por
ejemplo, si el maestro toca el tambor dos veces, el niño
tiene que tocarlo también dos veces. Si el niño
toma la iniciativa, el maestro puede repetir el ritmo marcado
por el niño. Esto ayuda a que el niño establezca
una relación de uno a uno. También le ayuda a
desarrollar su habilidad para comparar, que más adelante
le servirá para clasificar.
El uso de sintetizadores con un generador automático
de ritmos es otra buena manera de promover las matemáticas
a través de la música y también el dejar
a los niños que toquen notas en el teclado siguiendo
el ritmo marcado. Estos sintetizadores vienen equipados con
auriculares para que los niños puedan tocar lo que quieran
sin molestar al resto de la clase.
Una
vez observé a un maestro animar a sus niños a
organizar una banda de desfile usando los instrumentos y objetos
disponibles en el aula. Los niños decidieron cómo
desfilar. Hasta hubo un niño que insistió en
ir diciendo "un, dos, un, dos" conforme desfilaban. La mayoría
de los niños coordinaron su ritmo mientras marchaban
por el pasillo del centro para volver al aula, mientras el
niño repetía "un, dos, un, dos" para mantenerlos
juntos a todos.
El uso de los números, contar y cuantificar en las
actividades diarias
Se puede exponer hasta a los niños menores de dos años
a las matemáticas durante las tareas y actividades cotidianas,
tales como la hora de la merienda o el círculo. Debemos
aprovechar cualquier oportunidad para contar para ayudar a
los niños a establecer todo tipo de relaciones.
Los maestros deben contar y usar las matemáticas siempre
que sea posible y deben preguntar a los niños sobre
relaciones matemáticas simples. Este tipo de interacción
ayuda a los niños a reconocer la importancia de los
números y promueve la construcción de las matemáticas
emergentes. Hasta los niños de esta edad pueden entender
el concepto de "más". Cuando pedimos a los niños
que comparen grupos de objetos o cantidades contribuimos al
desarrollo de esta relación.
El que los niños no hayan aún construido el
concepto de número no es razón para no usar las
matemáticas con ellos. Al igual que el leer a los bebés
y los niños pequeños ayuda a desarrollar las
habilidades lectoras, el uso de las matemáticas ayuda
a los niños a construir los conceptos de número.
Bloques y formas
Los niños que están rodeados de objetos interesantes
establecen naturalmente relaciones entre estos objetos. Las
relaciones de "igual y diferente", comparación y clasificación
requieren que el niño se centre en una cualidad específica
del objeto para poder hacer la comparación. Mientras
más comparaciones hagan los niños, más
complejas pueden volverse estas comparaciones. El simple hecho
de incluir una variedad de pelotas o bloques de colores en
las opciones que le damos al niño puede facilitar el
desarrollo de relaciones matemáticas cada vez más
complejas. Estas actividades contribuyen al desarrollo de los
conceptos de seriación y clasificación.
Las construcciones con cajas de cartón también
ayudan a los niños a establecer relaciones. En mi experiencia,
a los niños pequeños les encanta jugar con cajas de
cartón. Podemos disponer una variedad de cajas
de cartón de distintos tamaños para que los niños
las apilen y formen estructuras. Las cajas más grandes
pueden tener agujeros o puertas para que los niños puedan
entrar y salir. Estas cajas se pueden agrupar de distintas
maneras y cada combinación o secuencia es otra relación
que establece el niño. En el proceso de colocar las
cajas, los niños tendrán algunas discusiones
e interacciones entre ellos que también promoverán
el desarrollo de nuevas relaciones.
También podemos usar formas geométricas para
establecer relaciones de comparación. En las habitaciones
de los niños pequeños debe haber una abundancia
de bloques y mosaicos para que los niños puedan comparar
y juntar. Debido a que su desarrollo matemático está aún
en las primeras etapas, los niños buscan formar las
parejas exactas, ya que ese es el nivel de clasificación
que comprenden. No pueden visualizar algo como"igual" y "diferente" a
la vez. En una ocasión observé a una maestra
que trabajaba con un niño de 12 meses. Estaban examinando
un grupo de bloques triangulares azules y amarillos. El niño
le dio un triángulo amarillo a la maestra y luego recogió otro
triángulo amarillo para dárselo a la maestra.
Entonces, ella escogió un triángulo azul y se
lo mostró al niño. El niño lo recogió y
lo volvió a poner con los demás para seguidamente
encontrar otro triángulo amarillo y dárselo a
la maestra. Para el niño, los triángulos amarillos
y azules no son parejas porque son de diferentes colores.
Según van desarrollando los niños su habilidad
para clasificar y emparejar, podrán establecer relaciones
más complejas. Pero este desarrollo toma tiempo y requiere
de la interacción con objetos y otras personas. Aún
si el niño tiene ya las conexiones necesarias para aprender
matemáticas, tiene que construir los conceptos uno a
uno. Las matemáticas formales no aparecen simplemente,
se construyen lentamente, paso a paso, durante los primeros
años de vida. Por ello, es vital ofrecer a los niños
desde los primeros meses, oportunidades para emparejar, clasificar
y comparar.
Los niños de tres y cuatro años.
Conforme los niños van dejando atrás su etapa
senso-motora, y entran en la etapa que Piaget (1969) llama
pre-operacional, el gran cambio que se produce es que
los niños pueden hacer representaciones mentales y empiezan
a adquirir un cierto grado de pensamiento abstracto. Los niños
pueden pensar sobre los objetos que no tienen frente a ellos
y pueden empezar a establecer relaciones con experiencias anteriores.
Los niños de esta edad pueden establecer relaciones
mucho más complejas entre los objetos. Esto es importante
para los conceptos matemáticos emergentes porque es
durante esta etapa que se construyen las estructuras mentales
que permiten a los niños entender el concepto de cantidad.
Los conceptos de seriación, clasificación y
orden adquieren una nueva dimensión cuando los niños
empiezan a establecer relaciones más abstractas. Pueden
comparar objetos que no están presentes o eventos que
ocurrieron en el pasado. Esto permite a los niños sintetizar
orden, seriación y clasificación para construir
estructuras mentales abstractas que apoyarán la cuantificación
y las matemáticas formales.
Los niños empiezan a establecer relaciones matemáticas
que amplían y refinan la idea de más a "uno más" y "dos
más". Este desarrollo les permitirá comprender
que "tres" es uno más que "dos" y dos más que "uno".
Esta es la idea central en la cuantificación.
Manipulables
Una manera sencilla de promover el desarrollo de las matemáticas
a esta edad es el pedir a los niños que usen los conceptos
matemáticos en sus actividades. Si un niño está utilizando
bloques, el maestro puede preguntarle ¿cuántos
bloques tienes? O ¿cuántos más necesitas?
Los niños están dispuestos y se entusiasman al
contar objetos y establecer relaciones matemáticas si
el maestro les anima a ello. Una vez, un niño de cuatro
años estaba haciendo una cadena de eslabones de diferentes
colores. Estaba trabajando solo cuando le pregunté que
tan larga quería hacer la cadena. No me respondió,
así que intenté con una pregunta más directa: "¿Cuántos
tienes ahora?" El niño colocó el siguiente eslabón
y luego los contó. Tenía ocho. Después
de colocar otro eslabón le volví a preguntar "¿cuántos
tienes ahora?" El niño empezó a contar desde
el principio y contó nueve. Cuando añadió otro
eslabón, le pregunté "Tenías nueve y acabas
de agregar otro. ¿Cuántos tienes ahora?". Nuevamente,
volvió a contar los eslabones y obtuvo una respuesta
de diez. Después de eso no tuve que volverle a preguntar.
Cada vez que agregaba un eslabón, los contaba todos.
Finalmente, hizo una cadena de 27 pero a partir de los 15 se
equivocaba al contar. Algunas veces, contaba con cuidado y
daba con la respuesta correcta y otras veces se saltaba algún
eslabón al contarlos.
Por ejemplo, después de contar correctamente 26 eslabones,
colocó otro y volvió a contar y se saltó algunos,
por lo que le salieron "quince". El hecho de que esta vez tenía
menos que en la anterior no pareció preocuparle. Aunque
cometía errores y mostraba una comprensión incompleta
de los conceptos de número, se estaba acercando cada
vez más al uso de las matemáticas de una manera
convencional, del mismo modo que los niños dejan de
hacer garabatos para escribir palabras y aprenden a escribir
de forma convencional.
Actividades cotidianas
Al igual que con los niños más pequeños,
podemos usar las actividades diarias, como la merienda y el
círculo para promover el uso de las matemáticas.
Por ejemplo, podemos pedir a los niños que ayuden a
repartir la merienda, contar los platos y otras actividades.
Tienen que poner en juego su habilidad para resolver problemas
matemáticos para encontrar la mejor manera de realizar
la tarea asignada. Al niño que le pedimos que ponga
cinco platos en la mesa, podrá hacerlo yendo a la pila
de platos, sacando uno y colocándolo enfrente de cada
niño hasta que todos tengan plato, hasta que se
de cuenta que puede contar los niños que hay y luego
ir a la pila de platos y contarlos para llevar uno para cada
niño en un sólo viaje. El dejar a los niños
usar sus propios métodos para resolver problemas como éste
permite el desarrollo de la comprensión matemática
emergente en los niños.
Este desarrollo puede ser mayor cuando ponemos a dos niños
a resolver un problema juntos. Los niños pueden comentar,
planear y aún discutir cuál es la mejor manera
de resolver el problema. Esta discusión proporcionará a
los dos niños nuevas maneras de ver el problema (Kamii,
1990, 1991). En una discusión, el niño puede
comunicar claramente sus ideas a otra persona y al mismo
tiempo evaluar las ideas de la otra persona. En este proceso,
el niño examina, y tal vez modifica, sus propias ideas.
Trabajar por proyectos
El trabajo por proyectos en educación infantil permite
a los niños explorar su mundo y construir el conocimiento
a través de la interacción directa con su entorno.Lilian
Katz (1989) afirma que los niños pequeños deben
tener actividades en las que usen su mente para lograr el conocimiento,
comprensión y habilidades. Cuando participan en un proyecto,
los niños no sólo obtienen información
de una lámina, de una actividad estructurada o del maestro,
sino que están tomando decisiones sobre lo que quieren
aprender, cómo y dónde aprenderlo. A través
de este método, los niños desarrollan técnicas
para resolver problemas, métodos de investigación
y estrategias de cuestionamiento.
Cuando los niños trabajan en un proyecto se presentan
oportunidades para usar las matemáticas. En un proyecto
reciente sobre construcción y transporte, los niños
podían usar las medidas para construir un camión.
Midieron la longitud, altura y ancho que querían y transfirieron
los números al cartón que tenían para
hacer su camión. Sus medidas no fueron exactas y no
entendieron muy bien el uso de una cinta de medir pero, del
mismo modo que un niño primero hace garabatos para luego
aprender a escribir, estos niños estaban aprendiendo
sobre las medidas.
Los niños también aprendieron qué son
los planos y cuando hicieron los suyos, el maestro les preguntó cuántas
ventanas querían tener en su casa, cuántos baños
y cuántas habitaciones en total. Discutieron el diseño
de la casa, qué habitaciones tendrían ventanas
y la ubicación de cada habitación dentro de la
casa. Los niños tuvieron que planear, contar, usar números
y medidas para llevar a cabo la actividad.
Votaciones
Cuando hay que tomar una decisión en la que puedan
participar los niños, las votaciones nos permiten usar
las matemáticas de una manera integrada. No solamente
es una oportunidad de contar sino que también podemos
comparar números. Podemos pedir a los niños que
voten sobre los libros que vamos a leer. los niños pueden
contar con nosotros las manos levantadas. Si, por ejemplo,
hay seis votos a favor y cinco en contra, podemos preguntar
a los niños que libro ha ganado.
Tratando a los niños pequeños como matemáticos.
Vamos a revisar algunas ideas básicas sobre los niños
pequeños y las matemáticas.
- La solución de los problemas matemáticos
toma tiempo. Si dejamos a los niños que trabajen
por períodos largos de tiempo en un problema, les
animamos a pensar como matemáticos.
Mientras los niños se mantengan interesados, hay que
dejarles trabajar en los problemas hasta que encuentren la
solución. A veces no lo conseguirán pero finalmente
podrán resolver el problema. Los niños, como
los matemáticos, deben sumergirse en un problema complejo
que requiera habilidad para resolverlo y el uso del pensamiento
numérico complejo. Esta es una de las formas en que
trabajan los matemáticos. Un buen problema hará que
los niños piensen de maneras innovadoras para resolverlo
sin un tiempo límite para encontrar la solución.
(Wakefield, 1997).
- Se debe permitir a los niños usar sus propios
métodos para resolver un problema.
AndrewWiles afirmaba que hacer matemáticas es como
tropezar en la oscuridad durante meses hasta que se encuentra
el apagador de la luz. Los niños comprenderán
mejor los conceptos y procedimientos matemáticos si
les dejamos utilizar sus propios procesos de pensamiento para
explorar las matemáticas como si fuera un cuarto oscuro
hasta que finalmente encuentren la luz y den con la solución
(Kamii, Lewis & Jones, 1993). Puede que no sea la manera
más rápida o eficiente de conseguir una respuesta
y muchos niños pueden llegar a la misma respuesta de
diferentes maneras pero los niños comprenderán
el concepto, no solamente el procedimiento repetitivo.
En el proceso de discutir los diferentes procedimientos usados
por los niños para encontrar la respuesta, los niños
comparan esos métodos con los suyos y refuerzan su comprensión
del concepto. Cuando se anima a los niños a discutir
las distintas respuestas, conseguimos que se den cuenta de
que las respuestas no vienen del maestro, sino que son universales.
En otras palabras, 2 + 2 = 4 no es así porque el maestro
lo diga sino por que el alumno se ha convencido a si
mismo de la verdad de esta afirmación. (Kamii, Lews & Jones,
1991).
Si queremos tratar a los niños como matemáticos,
debemos esperar que cometan muchos errores antes de dar con
la solución a un problema. Hay que hacer énfasis
en el desarrollo del pensamiento matemático en la mente
del niño más que en la respuesta correcta. Hay
que hacer ver a los niños que no hay nada de malo en
las respuestas incorrectas que son meros pasos en la búsqueda
de la respuesta correcta.
- La emoción de los niños viene de su
propia habilidad para pensar.
Los niños se pueden emocionar con un problema de matemáticas.
Los niños pueden encontrar placer y emoción en
la solución de problemas (Universidad de Chicago, 1998).
Si dejamos a los niños que piensen por si solos y discutan
y defiendan sus ideas, las matemáticas pueden ser tan
divertidas como ganar en un video juego o resolver un enigma.
Esto se ilustra en la siguiente observación de una clase
de niños de cuatro años.
"Amy yJosh decidieron compartir un paquete de caramelos. Discutieron
diferentes maneras de dividirlos. Josh sugirió hacer
dos montones que fueran similares pero Amy decía que
cada niño debía comerse un caramelo, por turnos,
hasta que se acabaran.Josh dudaba porque pensaba que su método
era mejor. Después de un rato de discusión, Josh
cedió, aceptando que el método de Amy era mejor.
Se rieron y dieron la mano y procedieron a comerse los caramelos."
Los niños no llevaron a cabo un ejercicio matemático
porque esperaban que se les diese una nota o recompensa. Usaron
las matemáticas porque les ayudaban a resolver el problema.
Después de que pensaron y hablaron sobre el tema estaban
contentos con su decisión. El proceso fue su recompensa.
4. Los problemas pueden tener varias soluciones y muchas
maneras diferentes de llegar a ellas.
Los problemas pueden y deben iniciar la discusión y
el desacuerdo entre los niños que están tratando
de resolverlos. Una parte integral de la solución de
un problema es el decidir cómo proceder para encontrar
la respuesta. Un buen problema de matemáticas tendrá muchas
maneras de resolverse (Universidad de Chicago, 1998).
El siguiente es un ejemplo típico de un problema en
los libros de texto de matemáticas:
"Sara tiene 23 manzanas yJoe tiene 6. ¿Cuántas
manzanas tienen entre los dos?"
Un problema como éste tiene una manera muy clara de
proceder y no requiere mucho esfuerzo de los alumnos. El niño
simplemente tiene que extraer los números, y sumarlos.
Sin embargo, el siguiente problema es muy diferente:
"Una fábrica de reciclaje hace sus propios vasos para
la cafetería. Para hacer un vaso nuevo necesita nueve
vasos usados. Si tiene 505 vasos usados, ¿cuántos
puede hacer en total?"
Aquí las matemáticas son muy sencillas pero
la manera de proceder para encontrar la respuesta es mucho
más compleja. El niño puede no darse cuenta de
la complejidad del problema la primera vez que lo aborda. Los
vasos se pueden reciclar repetidamente y, por tanto, hay que
poner en juego la habilidad para resolver problemas para encontrar
la respuesta. El maestro puede dar a los niños la respuesta
y aún así tendrían que trabajar para comprender
porque ésa es la respuesta correcta.
Los niños pueden discutir este problema en grupos.
Pueden plantear diferentes métodos y comentarlos. Los
niños se pueden llevar el problema a casa y pedir a
sus padres y hermanos que les ayuden. Este problema es tan
difícil para los adultos como para los niños.
Por tanto, el niño, sus hermanos y padres estarían
en el mismo nivel de comprensión. Por esta razón,
este tipo de problemas motivan y emocionan a los niños
por las matemáticas (Blake S.,Hurley s. & Arenz
B., 1995).
5. La interacción social hace que los niños
actúen como jóvenes matemáticos para
probar su respuesta y todos los pasos que dieron para encontrarla.
La interacción social es una de las partes más
importantes de un programa de matemáticas, especialmente
de aquel que considere a los alumnos como jóvenes matemáticos
(Makii, 1985). Sin embargo, es el elemento que falta en los
programas con más frecuencia. Las lecciones y deberes
tradicionales de matemáticas se diseñan para
hacerse en solitario. No se anima a los niños a defender
una respuesta o a colaborar entre ellos para resolver un problema.
En cambio, se les dan ejercicios individuales y se les pide
que los resuelvan solos (Fosnot, 1989).
Sin embargo, si vamos a considerar a los niños como
jóvenes matemáticos, debemos permitirles colaborar,
discutir, consultar, defender, preguntar, explicar, y proponer
a, y con, otros estudiantes usando ideas matemáticas. Los
niños construyen su comprensión matemática
a través de este tipo de interacción social. Sin
esta interacción, los niños simplemente memorizan
cómo conseguir una cierta solución sin desarrollar
su comprensión. Dejar a los niños usar su propio
pensamiento les ayuda a comprender las matemáticas.
La memorización hace que los niños actúen
y tal vez consigan la respuesta correcta pero cuando el niño
usa su propio pensamiento y explica cómo consiguió la
respuesta comprenderá mejor el concepto que hay detrás
de la respuesta. (Perry,Vander Stoep &Yu, 1993).
6. Lo matemático no está en lo manipulativo
sino en la mente del niño.
Mucha gente asume que porque las etapas del desarrollo cognitivo
de Piaget hablan de "operaciones concretas" los niños
pequeños no pueden pensar de manera abstracta y necesitan
objetos concretos para las matemáticas. Como ya hemos
mencionado, los manipulables son herramientas útiles
para ayudar a los niños a pensar en relaciones matemáticas
pero las matemáticas existen en la mente del niño.
Los niños de preescolar pueden pensar en términos
abstractos hasta cierto punto. Según Piaget, los preescolares
tienen más dificultades con el pensamiento lógico,
ya que, al estar en la etapa pre-operacional, no siempre ven
la necesidad de que cada una de sus explicaciones tenga un
sentido lógico.
Conclusión
Hay muchas cosas sencillas que los maestros pueden hacer para
promover el desarrollo de las matemáticas en cada niño.
El uso de estrategias, actividades y juegos sencillos nos ofrece
una gran oportunidad para que los maestros ayuden a los niños
a construir los conceptos matemáticos básicos.
Un entorno estimulante y un maestro dispuesto a ver la habilidad
del niño para construir conceptos matemáticos
son de gran valor en la construcción de las matemáticas
en el niño.
Si hemos de considerar el desarrollo de las matemáticas
como emergente, debemos entender que la construcción
de los conceptos matemáticos se inicia con el nacimiento
del niño. Los niños pueden construir los conceptos
básicos de las matemáticas como la cuantificación,
seriación, orden y clasificación sin mucha intervención
o enseñanza directa de los adultos. Esta comprensión
no es algo que se le pueda enseñar a los niños
sino que la deben construir por si mismos. El papel del educador
es facilitar esta construcción ofreciendo a los niños
oportunidades y materiales que promuevan su construcción
de las matemáticas. |
