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Representación y
actividad: dos conceptos estrechamente asociados
Gérard Vergnaud
Resumen
Los psicólogos de comportamiento quisieron deshacerse
del concepto de la representación.
No solamente fracasaron, sino que hoy en día la representación
es el concepto central de la
psicología. Respeto al desarrollo de conocimientos matemáticos
en los niños, la representación no se compone
de números, figuras, dibujos, diagramas, gráficos
y álgebras, sino de formas interiorizadas de actividades
en situaciones.
La actividad es más que el comportamiento: el comportamiento
es solamente la parte visible de la actividad. Por eso, cuando se analiza
el comportamiento matemático, hay que estudiar la actividad
de representación, que es fundamental. El concepto de
esquemas es esencial para entender este problema.
La parte más importante de nuestros conocimientos consiste
en las competencias, y no pueden expresarse en palabras fácilmente.
Este es acierto para todos los dominios de conocimiento, incluso
las matemáticas, y es aun más verdad para los
niños, porque no pueden expresar los conocimientos que
usan en la acción.
Cuando se enfrentan a situaciones, los niños pueden
entender progresivamente las entidades relacionales entre cantidades
y magnitudes, entre posiciones, figuras y movimientos... Las
relaciones de parte-parte-entero, las relaciones de estado-transformación-estado
y las propiedades isomorfas en los problemas de proporciones
no pueden reducirse a estructuras numéricas, ni pueden
considerarse solamente entidades lingüísticas o
simbólicas. Son conceptos y teoremas en acción.
El carácter implícito de una gran parte de nuestros
conocimientos no significa que los conocimientos explícitos
no son operacionales. Pero no podemos quedarnos satisfechos
con una teoría que considera las matemáticas
solamente como un cuerpo explícito de conocimientos.
Incluso cuando a uno está interesado en la función
de la lengua y los símbolos en el desarrollo de la mente,
es necesario identificar con seguridad qué propiedades
del significante representan qué propiedades del significado.
Sabemos hoy en día que las palabras significan cosas
distintas para individuales distintos, especialmente para el
profesor y cada alumno individualmente. Vygotski explicó hace
70 años que el 'sentido' dado a las palabras es diferente
que su 'significado' convencional. Por eso, existe una necesidad
teórica para analizar la actividad y la representación
como compuestas por invariantes que pueden ser diferentes que
el significado de las palabras. Este problema solamente puede
resolverse si aceptamos la idea de que los esquemas engloban
invariantes operacionales: conceptos y teoremas en acción.
Es nuestro trabajo identificarlos, juntos con los otros componentes
de esquemas y la
representación. Varios ejemplos ilustrarán esta
vista inesperada.
DISTINTAS DEFINICIONES DE LA REPRESENTACIÓN
Pocos conceptos se utilizan con tantos significados distintos,
incluso en el mismo campo de la psicología.
Además, muchos escritores, cuando hablan de memoria,
juicio, lenguaje o razonamiento, tratan de la
representación. No puedo entretenerme, en esta conferencia,
en analizar estos significados. Haría falta una obra
entera. Me conformaré con definir tres de ellos, frecuentemente
adoptados, y que me parecen convenientes de analizar. Luego
ya introduciré un cuarto significado que modifica sensiblemente
la comprensión de los tres primeros.
Sentido 1: el flujo de la consciencia.
Sentido 2: los signos y símbolos, del lenguaje
o no, con los que comunicamos.
Sentido 3: los sistemas de conceptos, explícitos
o no, con los que un individuo piensa lo real, es decir identifica
los objetos del mundo, sus propiedades, relaciones y transformaciones.
Sentido 1: el flujo de la consciencia
La experiencia de este flujo es la prueba más directa
acerca de la existencia de la representación como fenómeno
psicológico. Cada individuo ha experimentado el movimiento
casi permanente de imágenes visuales, auditivas, kinestésicas,
somestésicas... que acompañan la vida durante
la vigilia y el sueño; también tiene consciencia
de sus propios gestos y palabras, aunque sólo estén
esbozados en la
mente. Sin embargo, no podemos analizarlos bien, pero este
movimiento casi continuo de preceptos, ideas, imágenes,
palabras y gestos, más o menos interiorizados, demuestra
que la representación funciona de manera irreprensible
y espontánea en cualquier momento. El flujo de percepción
forma parte integrante del flujo de la consciencia, al igual
que el flujo de la imaginación, asociado o no a la percepción.
Sentido 2: Los signos y símbolos
Sin signos y símbolos la representación y la
experiencia no pueden ser comunicadas. Asimismo el trabajo
del pensamiento va a menudo acompañado, incluso guiado,
por formas del lenguaje y manipulaciones de símbolos.
La numeración y las notaciones algebraicas no son sólo
conceptos matemáticos sino que tienen un gran papel
en la conceptualización y el razonamiento matemáticos;
la notación musical tampoco es música, pero la
ejecución de ciertas obras es inconcebible sin ella;
el lenguaje no es pensamiento, pero ¿qué sería
el pensamiento sin el lenguaje?
Sentido 3: el sistema de conceptos
Se trata del sistema con el que extraemos la información,
con el objetivo de llevar nuestra acción y actividad
de la manera más pertinente posible. Este significado
es menos evidente que los primeros ya que se apoya sobre la
tesis según la cual la representación, incluso
la percepción, está estructurada alrededor de
conceptos. El término “concepto” se utiliza en el sentido
amplio de la palabra puesto que designa constituyentes de naturaleza
diversa que pueden ser totalmente implícitos, mientras
que la palabra “concepto” generalmente se refiere exclusivamente
a objetos de pensamiento explícitos, lo mejor definidos
posible. Este planteamiento teórico es de gran importancia.
Lo clarificaremos más adelante cuando hablemos de los
invariantes funcionales: conceptos-en-acto y teoremas-en-acto.
La distinción entre conceptualización y simbolización
es esencial: no debemos confundir los sentidos 2 y 3, cualesquiera
que sea el papel de los signos y símbolos dentro de
la conceptualización.
A parte de estos tres significados que acabo de mencionar,
tengo que introducir un cuarto significado, el de la representación
como actividad funcional: la representación no es, de
hecho, un epifenómeno que acompaña a la actividad
sin realmente orientarla o alimentarla. Tampoco es un diccionario
o una biblioteca; se trata de un proceso dinámico, o
más bien de un conjunto jerarquizado de procesos dinámicos.
Sentido 4: le representación como conjunto de esquemas
Dos motivos principales y complementarios rigen la funcionalidad
de la representación:
- Organiza la acción, la conducta, y más en
general la actividad, siendo ella misma el producto de la acción
y de la actividad. Es el concepto de esquema
que mejor expresa esta idea.
- Permite una cierta simulación de lo real, y por lo
tanto la anticipación;
Este cuarto significado modifica el alcance teórico
de los tres primeros arriba mencionados. En efecto, el mismo
flujo de la consciencia se organiza en esquemas, con su doble
propiedad de ser oportunistas y sistemáticos; es también
en los esquemas donde tenemos que buscar la primera expresión
de los conceptos que organizan la actividad; y finalmente,
los esquemas de diálogo y enunciación engendran
las actividades del lenguaje y del símbolo.
La consciencia acompaña parcialmente a la actividad,
pero la estructura de la actividad no es idéntica, ni
mucho menos, a la del flujo de la consciencia. El motivo de esta separación
reside en el hecho de que la consciencia sólo influye
sobre una pequeña parte del funcionamiento psíquico
en situación (con prioridad a la toma de información
y al control de los efectos de la acción). Sea como
fuere, las características de la actividad, especialmente
los objetivos que el sujeto se da a si mismo, y las coacciones
particulares con los que tiene que actuar, determinan los conceptos
movilizables en una situación dada. Estas coacciones
pueden ser reales o imaginadas: en efecto, otra propiedad de
la consciencia, complementaria a la primera, es poder asociar
objetos ausentes o imaginarios, con la intención, el
deseo, la percepción.
EJEMPLOS DE ESQUEMAS
El esquema de la enumeración
Un, dos, tres, cuatro… ¡cuatro! En el esquema
de la enumeración de un niño de cuatro o cinco
años, podemos identificar al menos dos conceptos matemáticos
implícitos: el de la correspondencia biunívoca
y el de cardinal.
En la actividad del niño, la correspondencia biunívoca
(hay que contar todos los objetos, y no contar dos veces el
mismo) toma la forma de una relación entre cuatro categorías
de elementos: 1) los objetos que enumerar, 2) los gestos del
brazo, de la mano y del dedo, 3) los gestos de la mirada, 4)
los gestos del habla. Si una de esas correspondencias no es
biunívoca, si por ejemplo la mirada o el habla van demasiado
rápido o lento, la enumeración falla. Eso es
lo que les pasa a los niños pequeños, y a algunos
discapacitados que tienen dificultad en distribuir el tiempo
de sucesión de sus gestos, y en coordinar los distintos
registros implicados, particularmente el de la mirada. Las reglas que generan progresivamente
la actividad se refieren por lo tanto a la toma de información
y al control, no sólo a la acción.
El cardinal: en el ejemplo más arriba, la repetición
de la última palabra: cuatro… ¡cuatro! es
un signo observable de esta conceptualización. Algunos
niños utilizan otra modalidad de enunciación,
acentuación: un, dos, tres, ¡CUATRO! Conocemos
las dificultades que tienen algunos niños para cardinalizar:
no resumen la información recogida del conjunto. Como
respuesta a la pregunta ¿cuánto?, hecha
por los interlocutores vuelven a contar todos los objetos.
Por supuesto no saben utilizar el cardinal para efectuar sumas.
El esquema de base de la adición
Supongamos que en una fiesta de cumpleaños, una madre
pide a su hija de 5 años que cuente cuántos niños
están en el salón. La hija corre al salón
y cuenta cuatro. Devuelve la información a su madre
quien le pide ahora que cuente los niños que están
en el jardín. La niña corre al jardín
y cuenta tres.
¿Cuánto es esto en total? le pregunta la madre. La niña se va corriendo otra
vez al salón (un, dos, tres, cuatro) y luego
al jardín (cinco, seis,¡siete!) y vuelve
a su madre para decirle siete. Cardinaliza pero no opera
con números. Desde luego ha pensado en la unión
de los dos subconjuntos puesto que vuelve a contar el total,
pero no ha operado con números. Después de unos
meses seguramente sea capaz o de declarar que 4+3 son 7, o
de no volver a contar los niños del salón, tan
sólo acordarse del cardinal y contar a partir
de ahí los niños del jardín (cinco,
seis, siete... ¡siete!). Podemos decir entonces que
opera con números y no sólo con conjuntos.
El teorema-en-acción que le permite ahorrarse el recuento
del total es un axioma de la teoría de la medida cardinal
(salón U jardín) = cardinal (salón) +
cardinal (jardín). El nuevo método de la niña
se apoya, en efecto, sobre el conocimiento implícito
de la equivalencia entre unificar primero las dos partes y
enumerar luego el total, o enumerar las partes primero y sumar
los cardinales luego. Es una propiedad constitutiva del número
que hace de él un concepto más rico que los de
relación de orden o de equivalencia.
La busca de un estado inicial
Entre las relaciones prototípicas de la suma y de la
resta figura la relación entre un estado inicial, un
estado final, y la transformación entre estado inicial
y estado final (aumento o disminución, ganancias o pérdidas
en los ejemplos de abajo).
a) Pierre tenía 6 canicas, juega una partida
con Robert y gana 5. ¿Cuántas canicas tiene
ahora?
b) B) Suzanne tenía 9 canicas, juega una
partida con Stéphanie y pierde 3. ¿Cuántas
canicas tiene ahora?
c) Andrée tenía 16 canicas; después
de haber jugado una partida de canicas con Thierry, tiene
11 canicas. ¿Qué pasó durante la partida? ¿Ganó Andrea
o perdió? ¿Y cuántas canicas?
d) Thierry tenía 16 canicas; después
de haber jugado con Andrée, tenía 12. ¿Qué pasó durante
la partida? ¿Ganó Thierry o perdió? ¿Y
cuántas canicas?
e) Stéphanie acaba de ganar 3 canicas jugando
con Suzanne. Ahora tiene 10. ¿Cuántas canicas
tenía antes de jugar?
f) Robert acaba de perder 5 canicas jugando con Pierre.
Ahora tiene 7. ¿Cuántas canicas tenía
antes de jugar?
Se han llevado a cabo numerosas investigaciones sobre este
tipo de situaciones. Sabemos que los últimos dos casos
(Stéphanie y Robert) son los más complicados.
Voy a interesarme en el último. La solución canónica
es una suma 7+5. Se apoya sobre un nuevo teorema-en-acción:
si una disminución provoca un paso al estado inicial,
entonces un aumento provoca un paso del estado final al estado
inicial. Invertimos el sentido de la transformación.
Si
F=T(I) entonces I=T-1 (F)
De ahí la regla: hay que añadir las canicas
perdidas. Sin embargo, existe un pequeño obstáculo
epistemológico en esta regla y en este conocimiento
porque la suma, para el niño, es asociada primero a
una ganancia y no a una perdida. Por lo tanto, podemos observar
que algunos alumnos recurren a un esquema distinto: hacer una
hipótesis sobre el estado inicial (pongamos 15), aplicar
la disminución -5, encontrar 10, y acercarse a 7 haciendo
una nueva hipótesis, por ejemplo 14. Observamos incluso
ajustes más sofisticados, como una disminución
de 3 de la hipótesis inicial (ajuste que se basa sobre
la diferencia entre el resultado que acabamos de obtener (10)
y el estado final indicado en el enunciado de la situación
(7).
Algunos niños rechazan el problema pura y duramente:
no pueden sacar de sí mismos los esquemas que les permitirían
dar sentido a esta situación.
Sin embargo, el conjunto de situaciones de suma y resta está formado
por numerosos tipos de problemas que se refieren no sólo
la transformación de cantidades y tamaños o la
relación parte/parte/todo, pero también se refieren
a relaciones de comparación positivas y negativas (x
de más o de menos que), combinaciones y “descombinaciones” de
transformaciones (ganancias y perdidas, ingresos y gastos),
transformaciones de las relaciones positivas y negativas (préstamos
y reembolsos). Por lo tanto es necesario recurrir al marco
teórico de los campos conceptuales, que de hecho es
pertinente tanto para el estudio de las habilidades de los
adolescentes y de los adultos como de las habilidades de los
niños pequeños. Un campo conceptual es, por definición,
un conjunto de situaciones y conceptos en estrecha conexión.
Ya volveré a hablar de ello más adelante.
La colocación de datos numéricos o casi numéricos
a la derecha
En una antigua investigación, habíamos pedido
a algunos alumnos del último año de primaria
y primeros años de secundaria que colocaran en una recta
aún no graduada pesos de los bebés al nacimiento
(primer caso), resultados de campeones por lanzamiento de jabalina
(segundo caso), fechas de nacimiento (tercer caso), y edades
de niños pequeños (cuarto caso). Les pedimos
que graduaran la recta tomando como escala un centímetro
por 100
gramos (primer caso), un centímetro por 10 centímetros (segundo caso),
un centímetro por un mes (tercer y cuarto caso) y luego
que colocaran los datos. Esos datos son numéricos en
los dos primeros casos y casi numéricos en los dos últimos.
La tira de papel sobre la que tenían que realizar el
trabajo medía 60
centímetros y la medida de la escala les permitía
colocar encima todos los datos así como el cero de origen para
el caso de los pesos de los bebés al nacimiento, y en
el de las edades de los niños pequeños, pero
no en los otros dos casos. Los niños inventaron soluciones
sorprendentes. Recogimos más de 50 grupos distintos
de protocolos. Veamos unos ejemplos:
- la colocación de punta a punta de los datos:
el segundo dato está colocado a partir del punto de
llegada del primero, y así sucesivamente. No hay inclusiones
de los significantes gráficos.
A B C
- la descomposición del mismo dato en partes disjuntas:
un lanzamiento de jabalina de 69,75 metros está descompuesto en 6
decenas de metros, 9 metros, y 75 centímetros, y representado
por tres trazos distintos, colocados en partes distintas de
la tira de papel, con escala distintas. Como esta interpretación
de la tarea vale para los siete lanzamientos de jabalina, la
tira de papel se encuentra cubierta por tres familias de segmentos:
una para las decenas, una para los metros, una para los centímetros.
- El día del mes sólo sobre una línea
de 30 unidades, en el caso de las fechas de nacimiento.
Los datos relativos al año y mes de nacimiento son
deliberadamente ignorados.
- El mes de nacimiento sólo sobre una línea
de 12 unidades, y la renuncia del año de nacimiento,
como si fueran cumpleaños.
- Los gramos sólo en el caso de los pesos de bebés,
colocados de punta en punta, y la renuncia de los kilogramos.
Los esquemas que han engendrado esos protocolos tienen dos
características esenciales: son oportunistas ya que
los niños utilizan todo los medios posibles. Son sistemáticos
puesto que, después de haber adoptado cierta interpretación
de la petición del maestro, observan esta interpretación
para todos los datos de misma naturaleza, y utilizan las mismas
reglas de colocación o de dibujo. Este ejemplo permite
comprender concretamente el papel y funcionamiento de los esquemas
en la adaptación a las situaciones nuevas.
Aunque el conocimiento es adaptación, son los esquemas
los que se adaptan, y se adaptan a situaciones. La pareja esquema/situación
constituye el núcleo de la teoría constructivista.
Los esquemas de la proporcionalidad
Supongamos que un niño, de viaje con su padre, se enfrente
espontáneamente al problema de calcular el tiempo que
necesitarían para recorrer una distancia de 860 km en la carretera, sabiendo que el coche ya
ha recorrido 245km en 2 horas y 5 minutos (bajo la hipótesis,
naturalmente, que la velocidad media sea la misma). Esta situación
se refiere a varios esquemas de razonamiento posibles. Podemos
utilizar la regla de tres, enseñada en todos los lugares
del mundo y muy poco utilizada en situaciones ordinarias. Podemos
calcular la distancia recorrida en una hora y dividir 860 por
esta distancia. Podemos dividir 860 por 245 para encontrar
cuántas veces habrá que conducir 2 horas y 5
minutos (relación entre dos medidas de misma naturaleza,
en este caso, de distancias), observar que 2 horas y 5 minutos
son 125 minutos, y que 125 es la mitad de 250, próximo
a 245 minutos. Esto permite evaluar la velocidad a 2km
por minuto aproximadamente. Pero también podemos considerar
que 245+245+245 son 735 y que los 125km que quedan para llegar
a los 860km, son casi la mitad de 245.
Estas distintas maneras de proceder resultan de la elaboración
de esquemas distintos relativos a la proporcionalidad y a la
aproximación, que, de manera distinta, ponen en juego
las propiedades de la linealidad (isomorfismo de la suma y
multiplicación por un escalar), así como las
de los coeficientes de proporcionalidad, que expresan unos
cocientes de dimensiones (kilómetros por hora, kilómetros
por minuto, coeficientes inversos de la velocidad). Estos esquemas
están disponibles de forma desigual entre los alumnos.
Pueden coexistir; su utilización depende entonces de
su mayor o menor pertinencia en relación a las variables
de la
situación. La orientación hacia tal o cual manera
de proceder se ve guiada por un esquema, que evalúa
la posibilidad y el coste de cada proceso disponible, en la
situación particular encontrada, particularmente según
los valores numéricos.
Es interesante hacer un comentario teórico sobre la
diferencia entre concepto-en-acción y teorema-en-acción.
La búsqueda de la relación entre 860 y 245 se
ve orientada por la idea según la cual se puede razonar
con el teorema de isomorfismo f(ax) = af(x). Esta relación
(a=860/245) es un número escalar, es decir un número
sin dimensión, que expresa una relación entre
dos distancias. Es un concepto-en-acción típico,
pertinente para el razonamiento, pero no es un teorema-en-acción.
Los teoremas tienen un valor de verdad (pueden ser verdaderos
o falsos), mientras los conceptos no: sólo tienen un
valor de pertinencia.
El ejemplo de la simetría: forma operatoria y forma
predicativa del conocimiento
Sólo hemos recorrido una parte del camino. La relación
entre la forma operatoria del conocimiento (que permite actuar
en una situación) y la forma predicativa (que consiste
en enunciar relaciones de objetos entre si mismos) constituye
la sucesión lógica de esta cuestión teórica.
La complejidad no sólo reside en el hacer sino también
en el decir. En los procesos de conceptualización, la
enunciación es esencial. Entre las dificultades encontradas
por los alumnos en el aprendizaje de las matemáticas,
casi empatan, por una parte, la complejidad de situaciones
y operaciones de pensamiento necesarias para resolverlas y,
por otra parte, la complejidad de algunos enunciados y simbolismos
matemáticos. Hasta tal punto que algunos investigadores
atribuyen las dificultades matemáticas al lenguaje.
Sin embargo, las matemáticas no son un lenguaje sino
un conocimiento. Este asunto no está nada claro ni para
los profesores, ni para psicólogos ni incluso para algunos
matemáticos. Para subrayar la importancia del papel
del lenguaje y de los procesos de enunciación y comprensión
de los enunciados, voy a apoyarme sobre dos ejemplos de construcción
de simetría de una figura, ambos contrastados tanto
desde el punto de vista de los esquemas necesarios para la
construcción como de los enunciados que podemos entender
o producir en esta ocasión.
d
La primera figura corresponde a una situación susceptible
de ser propuesta a alumnos de 8 a 10 años. Tienen que completar el dibujo
de la fortaleza por simetría alrededor del eje vertical.
La segunda figura corresponde a una situación clásica
propuesta en Francia a alumnos de 12 años: construir
el triángulo simétrico del triángulo ABC
con respecto a d. En el primer caso, las dificultades gestuales
no son totalmente despreciables puesto que hay que trazar un
trazo justo debajo de la línea de puntos, ni más
arriba, ni más abajo, y sabemos que no es fácil
con una regla; lo mismo hay que hacer entre el punto de salida
y el punto de llegada del trazo. Existen también reglas
condicionales: por ejemplo “un cuadro a la izquierda de la
figura ya dibujada, un cuadro a la derecha, en la parte que
completar”, o también “dos cuadros hacia abajo en la
parte izquierda, dos cuadros hacia abajo en la parte derecha”,
o también “un cuadro a la derecha en la figura izquierda,
un cuadro a la izquierda en la figura derecha” a partir de
un punto de salida homólogo del punto de salida izquierdo.”
Estas reglas no son muy complejas: representan varios conceptos-en-acción
y teoremas-en-acción relativos a la simetría
y a la conservación de las longitudes y ángulos.
Como todos los ángulos son rectos y las longitudes
se miden en unidades discretas (los cuadros), la dificultad
es modesta.
En la segunda figura, el trazado, con los instrumentos habituales
de dibujo (la regla, el compás, la escuadra), del triángulo
A' B' C' simétrico del triángulo ABC en relación
a la recta es mucho más complejo. En primer lugar, la
reducción de la figura triangular a sus tres vértices,
elementos necesarios y suficientes para el trazado del triángulo
simétrico, es una abstracción no despreciable
para algunos alumnos que “ven” la figura entera como una unidad
que no se puede descomponer. Luego, si razonamos a partir de
las propiedades de la mediatriz d de los segmentos AA' BB'
y CC' que hay que construir, la conceptualización no
es nada trivial: ¿por qué diablos construir un
círculo de centro A e interesarse por los puntos de
intersección con la recta d? Podemos naturalmente utilizar
la escuadra para trazar la perpendicular a d pasando por A',
trasladar la distancia entre A y la recta d del otro lado de
d para determinar A', pero sin trazado inicial la concepción
esta distancia como invariante no es tan evidente. Por lo tanto
hay una importante ruptura conceptual entre la primera y la
segunda situación, un salto epistemológico.
Quisiera demostrar ahora que los enunciados posibles relativos
a la simetría están asimismo sujetos a importantes
saltos. Veamos aquí cuatro enunciados que permiten demostrarlo.
1 la fortaleza es simétrica
2 el triángulo A'B'C' es simétrico del triángulo
ABC en relación a la recta d
3 la simetría conserva las longitudes y ángulos
4 la simetría es una isometría
Entre el enunciado 1 y el enunciado 2, existe ya un cierto
salto cualitativo: el adjetivo “simétrico”, apuntado “S” pasa
del estatuto de predicado de un argumento, al de predicado
de tres argumentos:
  
Entre el enunciado 2 y el enunciado 3, el predicado “simétrico” se
transforma en objeto del pensamiento “la simetría”,
a su vez dotado de propiedades: la conservación de las
longitudes y la conservación de los ángulos.
La operación lingüística de nominalización
es en uno de los medios habituales de esta transformación
de predicado en objetos. En los enunciados 1 y 2, la idea de
simetría “S” es predicado (o más bien función
proposicional); en el enunciado 3, se ha convertido en objeto
(o argumento). La anotamos “s” conforme al simbolismo habitual
de los especialistas de la lógica. La conservación de las longitudes y ángulos
es entonces una propiedad de este nuevo objeto que es la simetría.
Cuando pasamos al enunciado 4, se efectúa una nueva
transformación: la conservación de las longitudes
y ángulos se a convertido a su vez en un objeto, “la
isometría”, anotada “I”. Se afirma una relación
entre el conjunto de simetrías y el conjunto de de las
isometrías.
S C I
El significado del “la” de “la simetría” en
los enunciados 3 y 4 es de un cuantificado universal. El significado
del “la” de “la fortaleza” o de “la recta
d” en los enunciados 1 y 2 es de un deíctico y de
un singular: “ésta fortaleza”, “ésta
recta”. La relación entre significados y significantes
no es por lo tanto biunívoca, al menos en cuanto a las
palabras.
Los textos matemáticos, los textos científicos,
y los textos técnicos, y de manera más general
los textos elaborados (filosofía y literatura) rebosan
de esas variaciones de significados. Inevitablemente, la acumulación
de rupturas en las formas operatorias y en las formas predicativas
de los conocimientos matemáticos engendra dificultades
para los alumnos. Los maestros aún tienen poca información
acerca de estas rupturas.
DEFINICIONES DEL CONCEPTO DE ESQUEMA
Las siguientes definiciones se complementan entre ellas.
Definición 1: el esquema es una forma invariante
de organización de la actividad y de la conducta para
un tipo de situaciones determinadas.
Comentarios:
- el esquema no es un estereotipo: al contrario, permite la
adaptación de la actividad y de la conducta a los valores
tomados por las variables de situación. Lo invariante
es la organización, y no la actividad o la conducta.
- El esquema se refiere a un tipo de situaciones; este tipo
puede ser muy restringido o muy amplio. A lo largo del desarrollo
cognitivo, un esquema tiene primero un alcance local que el
sujeto tendrá que ampliar ulteriormente. Ya que se refiere
a un tipo de situaciones, aunque pequeña, el esquema
es universal en el sentido que podemos formalizarlo con reglas
y conceptos que contienen cuantificadores universales.
Un esquema no suele ser un algoritmo. Ciertas formas de organización
de la actividad matemática son efectivamente algoritmos:
desembocan, en un número finito de pasos (efectividad),
en el tratamiento de cualquier situación relativa al
tipo referido. Los algoritmos son esquemas, sin embargo no
todos los esquemas son algoritmos; podemos incluso añadir
que algunos algoritmos pierden, a lo largo del aprendizaje
o de la experiencia, algunas de sus características,
particularmente su propiedad de efectividad: se pueden ver
privados de su propiedad de desembocar de manera segura por
errores o atajos. De esa manera, la incertidumbre sigue siendo
una propiedad de los esquemas.
El análisis de los esquemas pasa inevitablemente por
el análisis de las conductas, pero el esquema no es
una conducta sino un constituyente de la representación
cuya función consiste en engendrar la actividad y la
conducta en situación. Debemos pues analizar los compuestos
que hacen posible el funcionamiento del esquema. Este análisis
permite una mejor comprensión de lo que distingue el
esquema de los demás conceptos, con los que le podríamos
confundir, tales como los conceptos de esquema, guión,
trama, ... estos últimos se refieren a objetos, situaciones
o escenas, sin embargo no tienen la función explícita
de engendrar progresivamente la actividad.
Definición 2: los componentes del esquema: objetivo,
reglas, invariantes operatorios, inferencias
El esquema es una totalidad dinámica funcional; su
función consiste en esta totalidad en su conjunto, y
no sólo de tal o cual componente. Sin embargo, el análisis
de los componentes del esquema es esencial para la teoría,
si queremos comprender cómo un esquema puede ser eficaz
o no.
1- el objetivo, los sub-objetivos, las anticipaciones.
Este primer componente representa en el esquema lo que a veces
llamamos la intención, el deseo, la motivación, la expectativa. Pero ninguno de estos
conceptos es en sí mismo un esquema, ni siquiera está integrado
en el concepto de esquema. Aunque la representación
está compuesta por formas de organización de
la actividad, y no sólo de imágenes, palabras
y conceptos, es esencial integrar objetivo, intención
y deseo en el propio concepto de esquema.
De la misma manera que los esquemas se componen y se decomponen
jerárquicamente, como es el caso en los ejemplos evocados
más arriba, el objetivo se divide en sub-objetivos y
anticipaciones. Analicemos el ejemplo del salto con pértiga
que ilustra bien la idea de organización secuencial
y simultánea de la actividad.
-organización secuencial: carrera, clavada de la pértiga
y elevación, ascensión última y paso del
listón, caída;
-organización simultánea: gestos y movimientos
coordinados de las distintas partes del cuerpo en el momento
del franqueo del listón por ejemplo;
Los objetivos, sub-objetivos y anticipaciones preceden y acompañan
al movimiento, y son el objeto, por parte del atleta, de un
control casi permanente durante el desarrollo de la acción.
Se puede analizar el trazado de la media fortaleza más
arriba evocado de la misma manera, como una organización
secuencial y simultánea de la acción, de la toma
de información y del control. Esto nos lleva al siguiente
punto.
2-Las reglas de acción, toma de información
y control.
Este componente constituye la parte generativa propia del
esquema, engendra de manera progresiva el descenso temporal
de la actividad; las reglas no sólo engendran la acción,
sino la actividad entera, tanto las tomas de información
y controles como las propias acciones materiales. El enfoque
de la cognición mediante reglas de acción, tal
como fue propuesto hace 40 años por Newell y Simon (1963)
es, pues, insuficiente. Asimismo, las reglas no sólo
engendran la conducta observable, sino una actividad entera
no directamente observable, como las inferencias y la búsqueda
en la
memoria. Muchos investigadores se quedan cerca del behaviorismo
por falta de reconocimiento de esas distintas funciones de
reglas y procesos de regulación. El concepto de invariante
es el que permite ir más allá en el análisis,
precisamente porque introduce la cuestión de conceptualización.
3-los invariantes operatorios: concepto-en-acción
y teorema-en-acción.
Los invariantes operatorios constituyen la parte más
directamente epistémica del esquema. Su función
consiste en identificar y reconocer objetos, sus propiedades,
relaciones y transformaciones. La función principal
es extraer y seleccionar la información pertinente e
inferir las consecuencias útiles para la acción,
el control y la toma de información subsiguiente. Hablamos
entonces de una función de conceptualización
e inferencia. Precisemos que este punto de vista se aleja totalmente
de un modelo de tipo “información - acción”:
los esquemas gestionan, en efecto, de manera entrelazada la
sucesión de acciones, tomas de información y
controles necesarios. La eficiencia se construye progresivamente.
La función de los “invariantes operatorios” es igual,
en principio, a la del “sistema de conceptos” (sentido 3 más
arriba evocado). Pero la presente terminología permite
no prejuzgar el carácter explícito o no, consciente
o no, de los conocimientos elaborados.
La no confusión de conceptos-en-acción y teorema-en-acción
constituye un punto teórico importante, ya mencionado
más arriba, en cuanto al concepto de relación
escalar. Aunque el pensamiento es cálculo, tienen que
existir en su funcionamiento elementos que se prestan a la
inferencia, particularmente a las anticipaciones y predicciones,
y a la producción de reglas. Sin embargo, los conceptos,
ya sean objetos o predicados, no se prestan a si mismos a la
inferencia porque no son susceptibles de verdad o falsedad,
sino sólo de pertinencia o no pertinencia. No obstante,
las inferencias van de lo verdadero a lo verdadero, más
precisamente de lo que consideramos verdadero a lo que es razonable
considerar verdadero. Una inferencia es mucho más que
una asociación: el cálculo asociativo no permite
por si sólo dar cuenta del funcionamiento del pensamiento.
Las funciones proposicionales no son susceptibles de verdad
o falsedad, puesto que contienen variables libres. Sólo
las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas. Por lo tanto,
las proposiciones tienen que ser parte integrante del sistema
de conocimientos evocados o evocables en situación,
de manera que el sujeto comprometa en ello su actividad y sus
razonamientos, aunque éstos fueran implícitos.
Por definición, un teorema-en-acción es una
proposición considerada verdadera en la
actividad. En realidad, el estudio del desarrollo de competencias
a lo largo del aprendizaje o a lo largo de la experiencia,
muestra que un mismo concepto puede, según el estado
de su elaboración, ser asociado a teoremas más
o menos numerosos, más o menos ricos, e incluso eventualmente
falso. La serie de teoremas-en-acción susceptible
de ser asociada al mismo concepto es generalmente muy grande,
particularmente en las disciplinas científicas y técnicas,
de manera que, declarar que tal sujeto ha entendido el concepto,
a menudo no tiene sentido. Haría falta poder precisar
qué teoremas-en-acción se pueden utilizar en
tal o cual situación. Las inferencias son relaciones
entre proposiciones, y están sometidas a metateóremas
(o teorema de orden superior) como los silogismos aristotélicos,
o la transitividad de las relaciones de orden: a>b y b<c
=> a>c. Por ejemplo, en una investigación muy
antigua, había podido observar algoritmos espontáneos
de niños pequeños de entre 4 años y
medio y 8 años, en una situación en la que
debían desbloquear barras encajadas. El primer algoritmo
que surgió se basaba sobre el carácter antisimétrico
de la relación de encajamiento: si la barra A está encajada en la barra B, la barra B no está encajada en la
barra A, por lo tanto no hace falta tirar sobre las dos barras
al mismo tiempo o alternativamente (eso hacen lo más
pequeños). Hay que tirar la barra A antes de tirar la barra B. El segundo algoritmo observado
con niños un poco más grandes consistía
en razonar de manera transitiva: si hay que tirar la barra A antes de tirar la barra B, y la barra B antes de tirar la barra C, hay que tirar la barra A antes de tirar la barra C.
La relación entre teoremas y conceptos es naturalmente
dialéctica, en el sentido que no hay teorema sin concepto
y no hay concepto sin teorema. Metafóricamente se puede
decir que los conceptos-en-acción son los ladrillos
con los se fabrican los teoremas-en-acción, y que la única
razón de existencia de los conceptos-en-acción
es precisamente permitir la formación de teoremas-en-acción
(proposiciones consideradas verdaderas), a partir de los que
se hace posible la organización de la actividad y las
inferencias. De manera recíproca, los teoremas son constitutivos
de los conceptos puesto que, sin proposiciones consideradas
verdaderas, los conceptos no tendrían sentido. Sin embargo
es importante reconocer que un concepto-en-acción siempre
está constituido de varios teoremas-en-acción,
cuya formación se puede escalonar sobre un largo período
de tiempo a lo largo de la experiencia y del desarrollo.
4. Las inferencias
Este último componente del esquema es indispensable
para la teoría, precisamente porque la actividad en
situación nunca es automática, sino que, al contrario,
está regulada por las adaptaciones locales, los controles,
los ajustes progresivos. Las inferencias están presentes
en todas las actividades, porque nunca ocurre que una acción
sea provocada por una situación estímulo y luego
se desarrolle de manera totalmente automática, es decir
sin control y sin nueva toma de información. Es posible
en teoría, pero las observaciones muestran que sólo
puede concernir a segmentos de actividad muy pequeños,
cuya funcionalidad no viene de ellos solos sino de los esquemas
de los que son parte integrante.
El carácter adaptable de los esquemas es esencial;
significa que si queremos representarlos de manera formal,
hay que referirse a reglas condicionales de tipo SI…ENTONCES…
SI…tal variable de situación tiene tal valor, y SI…tal
otra variable de situación tiene tal valor…ENTONCES…la acción X, la toma de información
Y, o el control Z tienen que efectuarse.
Naturalmente esta formalización es la del teórico,
y no del mismo individuo, salvo excepciones: para el teórico
las inferencias y las reglas casi siempre son implícitas,
e incluso a menudo inconscientes. Las reglas de acción,
de toma de información y de control son la traducción
pragmática de los teoremas-en-acción: traducen
principalmente el hecho de que las variables de situación
pueden, en general, coger distintos valores, y que los sujetos
están preparados para a adaptarse a estos distintos
valores.
Sin estos cuatro componentes del esquema (objetivo, regla,
invariante, inferencias) no se puede comprender totalmente
la estructura de la actividad, así como su doble característica
de ser a la vez sistemática y contingente:
-sistemática porque, en muchas situaciones, la actividad
está sujetada a reglas unívocas. Es el caso,
entre otros, de los algoritmos en matemáticas (las cuatro
operaciones de la aritmética, la solución de
algunas categorías de ecuaciones, la búsqueda
del máximo común divisor o del mínimo
común múltiplo de dos números enteros),
y para los procesos impuestos a los operadores en ciertos puestos
de trabajo (pilotaje de aviones, de sistemas peligrosos como
las centrales nucleares, fabricación de medicinas y
vacunas).
-contingente porque, como acabamos de ver, las reglas engendran
actividades y conductas diferentes según las situaciones
en que se presentan. Esta contingencia de la actividad es aún
más impresionante para las situaciones nuevas, cuando
el sujeto no dispone de esquema preparado en su repertorio,
y debe improvisar para enfrentarlo. La contingencia se convierte
en oportunismo, y el sujeto busca una solución en todos
sus recursos cognitivos, es decir en los esquemas anteriormente
formados, susceptibles de abrir un camino hacia la búsqueda la solución. El ejemplo más
arriba indicado de la colocación de datos es demostrativo.
De esta manera, gracias a la estrecha articulación
de sus cuatro componentes, el concepto de esquema ofrece una
respuesta teórica que ningún otro concepto de
psicología cognitiva ofrece. Observamos también
que, en la adaptación a nuevas situaciones (y por lo
tanto a la resolución del problema), los invariantes
operatorios aseguran una función esencial: o ya existen
en los recursos del sujeto, y están descompuestos y
recompuestos, o aún no existen, emergen en situación,
y se van articulando con los invariantes anteriormente formados.
La función de conceptualización por los invariantes
operatorios es por lo tanto crucial para comprender que los
esquemas son el lugar psicológico central de adaptación
a la novedad, al igual que de la adaptación a la diversidad.
CONSECUENCIAS TEÓRICAS
Se pueden formular varias consecuencias a partir de lo se
acaba de decir. Voy a resumirlas alrededor de tres temas.
Campo conceptual y zona de desarrollo próximo:
Vygotski tuvo una idea fecunda cuando habló de zona
de desarrollo próximo, pero no pudo dar ejemplos concretos
ya que no disponía de una descripción y de un
análisis suficientemente preciso de las situaciones
y de las actividades referidas a tal zona, que, asimismo evoluciona
permanentemente. Este análisis es, en efecto, esencial,
y se apoya sobre los conceptos y teoremas solicitados y parcialmente
disponibles. Un campo conceptual es un conjunto estructurado
de tipos de situaciones, algunas más fácilmente
asequibles que otras, precisamente porque se refieren a esquemas
y teoremas-en-acción menos sofisticados. No se asocia
un concepto a un solo tipo de situaciones, ni a un solo esquema,
ni a un solo teorema-en-acción. Asimismo, un concepto
no se forma solo sino en relación con otros: de esta
manera, los conceptos de suma y resta se desarrollan juntos
sobre un período largo de la escolaridad, en una gran
variedad de situaciones, en relación con muchos otros
conceptos: los de parte y de todo, de estado y transformación,
de relación y descomposición de relaciones, de
medida, de distancia, de abscisa, de translación, de
número natural, de número relativo… Un campo
conceptual es por lo tanto un conjunto de conceptos.
El desarrollo cognitivo está hecho de filiaciones y
rupturas. El marco de campos conceptuales permite colocarlas
unas a otras gracias a las ideas de situación, de esquema
de teorema-en-acción.
Significantes, significados e invariantes operatorios. No
se puede confundir significantes y significados. Las palabras
utilizadas cubren varias significaciones según la situación
en la que nos encontremos. Pero, además, el sentido
dado por el niño sólo corresponde parcialmente,
y a veces para nada, al significado convencional de las palabras
y de los enunciados, o a los significados que les da el maestro.
Vytgotski teoriza convenientemente sobre este punto en el último
capítulo de “Pensamiento y Lenguaje”, cuando se aleja
de su primera definición del concepto, como “significado
de las palabras”, para introducir la idea de “sentido”. Mientras
Piaget solía declarar: “los sentidos son esquemas”.
La teoría de los campos conceptuales permite llevar
un complemento teórico: hay que distinguir significados
de la lengua y concepto, porque la conceptualización
empieza por la acción en situación, y la formación
de los invariantes operatorios. Ellos son los responsables
de la distancia entre sentido y significado. En otras palabras,
son ingredientes esenciales de una teoría de la comunicación,
igual que lo son para una teoría de la conceptualización
y de la representación.
No hay homomorfismo directo, ni siquiera parcial entre lo
real y la lengua, aunque ésta fuera científica.
Consciencia y toma de información. Los invariantes
operatorios son la propia base de la intuición, con
lo que contiene esta intuición de positivo y de obstáculos
posibles. Como la experiencia del flujo de la consciencia nos
proporciona una cierta idea de la representación, parcial
e insuficiente, pero sin embargo esencial, está claro
que la percepción es una representación. El concepto
de invariante operatorio permite comprender la identificación
de los objetos y de sus propiedades, con lo que esta identificación
puede comportar de justo y erróneo, de objetivo y subjetivo.
Acordémonos del ejemplo dado hace 70 años por
Barlett de los tres paseantes en la montaña (un pintor,
un geólogo y un especialista en botánica) que
no ven lo mismo teniendo el mismo espectáculo de la
naturaleza delante de sus ojos. Pero en el aprendizaje de las
ciencias, particularmente las matemáticas, estamos abocados
a acordar un lugar preponderante a la construcción de
objetos para los que no existe información directa mediante la
percepción. Los conceptos de número, de tamaño,
de transformaciones geométricas, de cociente y producto
de dimensiones, representan todos un salto en relación
a la percepción. Sin la
imaginación, la ciencia no existiría. El constructivismo
es primero la posibilidad para los niños como para los
sabios, de construir objetos de pensamiento hipotéticos
que permiten que las propiedades de la acción y las
informaciones sacadas de las situaciones sean coherentes; pero éstas
están elaboradas, y a veces muy lejanas de la percepción,
al igual que los conceptos de fuerza de Newton, de oxígeno
de Lavoisier, de evolución de Darwin, de gen de Mendel,
o de inconsciencia de Freud. Tenemos que apoyarnos sobre
la intuición y al mismo tiempo defendernos de ella.
Asimismo, lo que resultaba de una construcción delicada
para el niño de 5 años puede convertirse en un
objeto de pensamiento para el niño de 8 años
que ya no consigue tomar distancia con esta nueva evidencia.
Existen muchas construcciones contraintuitivas en la ciencia. Es en este punto crucial donde se sitúa la toma
de consciencia, y que la ayuda del maestro o de otra persona
puede tener la función que Vygotski le atribuía
en la zona de desarrollo próximo. El maestro dispone
entonces de más posibilidades: la elección de
las situaciones, el entrenamiento en la actividad, la ayuda
a la selección de la información de los esquemas
y de los variantes operatorios. |
