La multiculturalidad de las matemáticas
Terezinha Nunes
Departamento de Estudios Educacionales
Universidad de Oxford
La mayoría de las personas están de acuerdo
de que el aprendizaje matemático requiere el uso de
la lógica, y la mayoría de los educadores actualmente
acepta que las matemáticas son un producto cultural,
así que el aprendizaje matemático es aprender
a dominar un invento cultural. Estas dos ideas son interesantes,
pero puede parecer que están en conflicto: los principios
lógicos deben de ser universales, pero para los inventos
culturales no es así. En esta ponencia, intentaré demostrar
cómo estas ideas pueden ser compatibles, trabajando
con la noción de sistemas de razonamiento. Después,
exploraré la noción de sistemas de razonamiento
en tres contextos de aprendizaje matemático: aprender
el conteo, utilizar el conteo para resolver diferentes problemas
aritméticos y trasladar (o bien no trasladar) entre
representaciones diferentes para las matemáticas.
Mientras exploro con estos ejemplos, trabajaré con
tres suposiciones, que quiero mencionar de manera explícita.
La primera es que yo supondré, siguiendo la tradición
de Piaget, que el razonamiento lógico de los niños
tienen sus orígenes en sus acciones. Esta suposición
se usa en el diseño de los estudios que voy a describir,
en los cuales se les pide a los niños que resuelvan
problemas, y su forma de organizar sus acciones se interpreta
como una indicación de su lógica. La segunda
suposición es que las representaciones matemáticas
que ellos usan provienen de la cultura, y deben ser integradas
en su sistema de razonamiento para ser utilizadas. En este
tema no importa cómo se aprenden las representaciones,
el argumento es solo que son utilizadas bien únicamente
cuando son asimiladas en un esquema de razonamiento. Finalmente,
propondré que, una vez estas representaciones son asimiladas
en un esquema de razonamiento, afectan la forma en que funciona,
normalmente aumentando su potencia, pero también estructurando
la forma en que manejamos la información. Esto significa
que, una vez que algunas representaciones llegan a ser una
parte del sistema, dirigen nuestra interpretación de
información nueva y nuestros esfuerzos de resolución
de problemas en maneras específicas. Cuando existen
representaciones alternativas para la misma situación,
puede que nos movamos bien entre ellas. Sin embargo, poder
hacerlo sería beneficioso para nosotros.
¿Qué son los Sistemas de Razonamiento?
La teoría de sistemas fue aplicada al razonamiento
por Piaget y los psicólogos rusos de desarrollo en la
primera mitad del siglo veinte. Piaget y los psicólogos
rusos de desarrollo intentaban resolver el mismo problema,
y propusieron la teoría de sistemas como la solución.
El problema que intentaron resolver fue el problema mente-cuerpo.
El problema se aprecia fácilmente considerando el contraste
entre las funciones biológicas y mentales superiores.
Las funciones biológicas se llevan a cabo típicamente
por órganos especializados. Por ejemplo, la digestión
se hace por el sistema digestivo, y la respiración por
el sistema respiratorio. Las funciones biológicas se
tratan de una tarea constante llevada a cabo por los mismos
mecanismos, que conduce a un resultado invariable. Si tomamos
la respiración como ejemplo, la tarea es traer oxígeno
a las células del cuerpo. Este fin se logra con un mecanismo
invariable: el oxígeno es recibido por las células
de sangre y es transportada a todas las células del
cuerpo. El resultado invariable es que las células reciben
oxígeno.
En contraste, las funciones mentales superiores no se llevan
a cabo por un órgano especializado, sino a través
de la coordinación de diferentes acciones. Se llevan
a cabo por sistemas funcionales. Según la definición
de Luria, en los sistemas funcionales "una tarea constante
se hace por un mecanismo variable que lleva el proceso a un
resultado constante” (Luria, 1973, p. 28). Demostraré el
argumento utilizando los ejemplos de Luria. El primero es 'recordar'.
Es fácil equivocarse pensando que tenemos un órgano
especializado para recordar: el cerebro. Pero Luria señala
que recordar implica sistemas funcionales en lugar de una única
unidad biológica. Imagínese que es el cumpleaños
de su pareja y quiere recordar comprar flores antes de ir a
casa. Su tarea es recordar comprar flores. Usted puede hacerlo
por una variedad de medios. Puede simplemente repetirlo muchas
veces a si mismo hasta que usted piense que ya es imposible
que lo olvide. Usted puede atar una cuerda en el dedo: como
normalmente no tiene una cuerda en el dedo, lo que te recordará a
comprar las flores. Puede apuntarlo para ayudar a recordarlo:
en la palma de la mano, un sitio muy visible. O en una pegatina
amarilla, por ejemplo, y pegarla a la cartera. O puede grabarlo
en su agenda electrónica, y poner la alarma para sonar
justo antes de la hora de su salida de la
oficina. Estos mecanismos variables pueden ser utilizados con
el mismo fin para recuperar la información. En ninguna única
unidad biológica se encuentran todos los diferentes
mecanismos que son necesarios para recordar algo, y la mayoría
de nosotros no contamos con la memoria 'natural' para organizar
nuestras vidas: tenemos agendas y escribimos en ellas lo que
se supone qué tenemos que hacer, y cuándo lo
tenemos que hacer. Utilizamos Powerpoint cuando damos charlas
para ayudarnos a recordar lo que queremos decir en orden. La
memoria humana está limitada, pero los humanos no dependen
de lo que pueden recordar sin ayuda: nuestro sistema de memoria
está abierto en el sentido de que puede funcionar con
ayudas externas, y nos potencia aprender utilizar mecanismos
de memoria externa que, conjuntamente con nuestra memoria natural,
nos permiten recordar mejor. Muchas ayudas culturales funcionan
en maneras que nos ayudan a superar los límites de nuestra
memoria.
El segundo ejemplo que quiero explorar está relacionado
con mecanismos externos que nos ayudan a superar los límites
de nuestras percepciones de tiempo. Un experimento de pensamiento
tal vez ayuda a demostrar lo que quiero decir. Imagínense
que yo le pregunto a alguien, "¿Cuándo vamos
a quedar mañana?"Si es una cultura sin relojes, ¿qué tipo
de respuesta podría obtener? ¿Cómo cambia
la respuesta cuando la pregunta se hace en una cultura con
relojes? En una cultura sin medios para medir el tiempo, la
respuesta debe diferir porque se basa en percepciones relacionadas
con el tiempo, mientras en una cultura con relojes, utilizamos
la medida de tiempo para responder. En una cultura sin relojes,
nuestra idea de cuánto dura un día y cuánto
dura l noche quizás dependen de si es invierno o verano,
en una cultura con relojes, decimos que el día dura
cierto número definido de horas, incluso si se oscurece
antes en el invierno y más tarde en el verano. Así que
nuestras concepciones de tiempo llegar a estar independiente
de nuestras percepciones. Aunque no podemos percibir la diferencia
entre las 10:00 y las 10:05, podemos mirar al reloj y decirle
a otra persona, "Llegas tarde." Nuestras concepciones
de tiempo en culturas que dependen de relojes se forman por
la medida de tiempo: Relacionamos el día con 24 horas,
las horas con 60 minutos, los minutos con 60 segundos, como
si esto fuera lo que realmente es el tiempo. Pero podríamos
pensar del mismo ciclo con 86.400 segundos, organizados en
minutos de 100 segundos, y quizás no decimos nada de
horas. En este caso, en lugar de decir, "Nos vemos a las
10 mañana," diríamos, "Nos vemos a
los 360 minutos mañana." Tener una forma de medir
el tiempo nos permite incorporarlo en nuestro sistema de razonamiento
sobre el tiempo.
Los sistemas de razonamiento son sistemas abiertos: permiten
la incorporación de herramientas que llegan a ser una
parte integral del sistema. Vygotsky sostenía que lo
más humano en los humanos es este principio de construcción
de sistemas funcionales que permiten que las actividades sean
mediadas por herramientas. Él llamó esto 'la
organización extra cortical de funciones mentales complejas'
para destacar que estos sistemas funcionales no se pueden reducir
a solo el cerebro.
Incluso las actividades matemáticas más elementales
se llevan a cabo por sistemas funcionales. Resolver el problema
más sencillo de adición, por ejemplo, supone
un sistema de razonamiento. si para fraseamos a Luria, no tenemos
ningún órgano especializado para la adición.
Cuando un estudiante es preguntado el problema "Mary tenía
tres caramelos y su abuela le dio tres más, ¿cuántos
tiene Mary ahora?", el estudiante puede encontrar la respuesta
a través de una variedad de mecanismos. El estudiante
puede recordar un hecho de adición, 5 + 3, y no usar
ningún dedo. Si fuera un número grande, puede
que el estudiante utilice una calculadora. Hay mecanismos variables
que dan el resultado invariable para respuestas de problemas
de adición.
Para los educadores, una de las características más
significantes de funciones mentales superiores es que son sistemas
abiertos: los mecanismos variables, que a menudo son creados
a través de la incorporación de herramientas,
pueden reemplazarse introduciendo en el sistema algo nuevo
del entorno. Cuando un mecanismo es reemplazado con algo nuevo,
el sistema cambia. Usando la terminología de Piaget,
cuando un niño asimila algo nuevo en su sistema de razonamiento,
el sistema se acomodará a una manera nueva de funcionamiento.
Muchos de los cambios que introducimos en los sistemas de
razonamiento matemático de los niños son 'representacionales':
enseñamos a los niños a representar cosas de
maneras diferentes que los potencian. Estas maneras nuevas
de representación, a su vez, tienen unos impactos en
su sistema de razonamiento, y les abren a posibilidades nuevas
de razonamiento. Por supuesto, esto no es lo único que
pasa en el aprendizaje matemático, pero es una parte
muy importante de lo que pasa en el aprendizaje matemático.
La idea de sistemas de razonamiento será ilustrada aquí con
tres ejemplos: comprensión del conteo, usar el conteo
para resolver diferentes tipos de problemas y diferentes sistemas
para manipular adición y sustracción y cantidades
intensivas.
El conteo
Para aprender a contar correctamente, los niños deben
poder seguir tres principios: establecer una correspondencia
de uno a uno entre etiquetas numéricas y objetos, tener
un etiqueta numérica diferente para cada objeto que
será contado (si no es así, el principio de correspondencia
de uno a uno sería violado) y mantener las etiquetas
numéricas en un orden fijo (en caso contrario, el conteo
del mismo número de objetos puede acabar en una etiqueta
numérica en ocasiones diferentes). Esto significa que
el conteo de 1.000 objetos requería que los niños
aprenden 1.000 palabras numéricas en orden fijo, una
tarea asombrosa para nuestra pobre memoria. A través
de la historia, las culturas han resuelto este problema utilizando
un sistema de base para contar. Con un sistema de base, aprendemos
cómo el sistema de conteo funciona y puede generar nuevas
palabras de conteo que no habíamos oído antes.
Los sistemas de base pueden ser utilizados simplemente como
una serie de palabras que son fáciles de generar. Sin
embargo, representan una idea nueva, que va más allá de
la correspondencia uno a uno: representan la composición
aditiva del número. Es posible que los niños,
al principio, usen un sistema de conteo con base sin entender
este principio, y solamente más tarde entienden la idea
de composición aditiva que en una parte de un sistema
de base. Llevamos años usando la 'Shop Task' como un
experimento fácil que muestra si los niños entienden
composición aditiva. En esta tarea, se les pide a los
niños que actúen con si compraran cosas del investigador.
Se les ofrecen monedas que pueden utilizarse para comprar estas
cosas. En la condición de correspondencia de uno a uno,
se les dan muchas monedas de 1 céntimo a los niños,
y se les pide que paguen, por ejemplo, 13, 17, 23 y 25 céntimos
por los juguetes diferentes. Lo único que tienen que
hacer es contar las monedas una por una hasta alcanzar el número
deseado. Nuestros estudios han demostrado que los niños
en su primer año de colegio en el Reino Unido (la edad
media para nuestro último estudio, 5 años 10
meses, N=112) no tienen dificultades en contar las cantidades
deseadas de monedas en esta condición de correspondencia
de uno a uno, y alcanzan casi 100% de respuestas correctas.
Con la condición de composición aditiva, se les
dan a los niños monedas de valores diferentes: para
pagar 13 céntimos y 17 céntimos, se les dan una
moneda de 10 céntimos y 9 monedas de 1 céntimo,
y para pagar 23 y 25 céntimos, se les dan una moneda
de 20 céntimos y 7 monedas de 1 céntimo. Su actuación
en esta segunda tarea es bastante distinta. El 51% de los niños
no da ninguna respuesta correcta (de seis elementos), cuentan
las monedas de 10 y 20 céntimos como monedas de 1 céntimo,
aunque sepan los valores de las monedas. No usan las monedas
de valores diferentes para componer cantidades aunque pueden
contar hasta esas cantidades cuando se les dan solamente monedas
de 1 céntimo. Concluimos que estos niños utilizan
un sistema de base como si fuera una serie simple, que solamente
requiere principios de correspondencia de una a uno. Con el
tiempo, y también con el apoyo de la enseñanza,
el razonamiento de los niños se acomoda al principio
de composición aditiva que está incrustado en
el sistema, y a través de esto los niños ganan
más potencia en el uso del sistema de conteo.
Mucha investigación ha demostrado que la regularidad
del sistema de conteo afecta la facilidad con que los niños
aprenden a contar (e.g. Miller & Stigler, 1987; Nunes & Bryant,
1996) y también la facilidad con que entienden la idea
de composición aditiva (e.g., Nunes & Bryant, 1996;
Miura et all, 1988). Esta investigación se puede resumir
examinando una de nuestras comparaciones entre los niños
de Tapei y Oxford. El sistema de conteo chino es bastante regular,
y las palabras para 11, 12, etc. son las equivalentes a diez-uno,
diez-dos, etc. Las palabras para 20, 30 y las otras décadas
son literalmente traducidas como dos-diez, tres-diez, etc.
21, 22, etc. son literalmente traducidas como dos-diez-uno,
dos-diez dos, etc. Este sistema regular, que representa la
idea de composición aditiva tan claramente, contrasta
con el inglés, en que las palabras de conteo de 13 a 19 son irregulares. Noten, sin embargo, que ninguno
de los dos sistemas da pistas a la idea de composición
aditiva cuando los niños tienen que pagar 7 céntimos
utilizando una combinación de cinco más
dos unos. Así que, si los niños Taiwán
eses producen mejor estas combinaciones de monedas, esto demuestra
que ellos no meramente están vinculando palabras a monedas,
sino que han entendido el principio de composición aditiva.
Dimos la 'Shop Task' a niños de cinco años de
los dos países usando denominaciones variadas de monedas
relevantes: en algunas pruebas se usaban solamente monedas
con valor de 1, en otras combinaciones de monedas con valores
de 1 y 5 y en otras monedas con valores de 1 y 10. Dentro de
este campo, los niños de Taipei y Oxford no se diferían
cuando pagaban los juguetes en la 'Shop Task' cuando las monedas
eran todas de un valor de 1. Sin embargo, se diferían
significantemente cuando tenían que usar el principio
de composición aditiva. Los niños de Taipei se
equivocaban muy poco (solamente 8%) en las combinaciones de
valor de 10 y 1, que es donde su sistema puede ayudarles con
la idea de composición aditiva muy directamente, y unos
más se equivocaban (20%) cuando tenían que contar
con combinaciones con valores de 5 y 1, donde no tienen ayuda
directa del sistema. En los dos casos, actuaron significativamente
mejor que los niños de Oxford, que se equivocaban en
56% de las pruebas en que se utilizaban combinaciones con valores
de 10 y 1, y en 46% de las pruebas en que se utilizaban combinaciones
con valores de 5 y 1.
Nuestra conclusión es que el sistema de razonamiento
que los niños forman para contar depende de la lógica,
los principios de correspondencia mencionados antes y el principio
de composición aditiva, cuando se usa un sistema de
base, y también depende de la herramienta culturalmente
concebida para el conteo, un sistema de etiquetas numéricas.
Aprender el sistema de etiquetas numéricas en inglés
o chino les permite a los niños a superar los límites
de su memoria natural, porque pueden generar las etiquetas
numéricas usando la lógica del sistema. Si esta
lógica es más transparente en el sistema, pueden
comprenderla más rápidamente.
Usar el conteo para resolver tipos diferentes de problemas
De los ejemplos anteriores parece que el conteo se relaciona
con la adición de forma directa, que saber contar y
sumar son cosas casi iguales y que el conteo consiste en sumar.
Para destacar que el conteo es una herramienta en la aritmética
en general, y no solo una base para la adición, basta
considerar algunos ejemplos en los cuales la lógica
de los niños guía la manera en que organizan
materiales para contar y encontrar la respuesta para diferentes
tipos de problemas. En estos ejemplos, la lógica de
los niños guía su manera de manipular los objetos
y lo que cuentan, una vez que han representado el problema.
El primer ejemplo es un contraste entre dos problemas de substracción.
Los dos son problemas de cambio, pero en uno el valor que falta
es el resultado final y en el otro el valor que falta es el
cambio. Un problema de cambio con resultado desconocido sería
así: un niño tiene 6 canicas, las mete en el
bolsillo y sale de casa, tiene un agujero en el bolsillo y
4 canicas se le caen, ¿cuántas canicas le quedan
cuando llega a casa? El mismo problema con el cambio desconocido:
un niño tiene 6 canicas , las mete en el bolsillo y
sale de casa, tiene un agujero en el bolsillo y algunas canicas
se le caen cuando llega a casa, quedan 4 canicas,¿cuántas
canicas se le han caído? En ambos problemas, el niño
puede utilizar los materiales para representar el total, el
cambio y el resultado. En el primer problema, el niño
quita 4 canicas y cuenta las que quedan. En el segundo problema,
el niño cuenta 4, que es el estado final, y debe concluir
que las otras son las canicas que quedan en el bolsillo del
niño. Aunque los problemas parecen ser similares, cuando
los niños actuaron para resolver el problema, el problema
de estado final que falta obtuvo el 75% de respuestas correctas
en nuestro grupo de niños en su primer año de
colegio, mientras el problema de transformación que
falta obtuvo el 35% de respuestas correctas. El niño
tiene las mismas herramientas, pero una manipulación
lógica distinta se requiere.
El segundo ejemplo es el uso del conteo para resolver problemas
de multiplicación. Les dimos a los niños el siguiente
problema de multiplicación: en cada casa de esta calle
(cuatro casas son dibujadas) viven tres perros. ¿Cuántos
perros viven en esta calle? Para resolver este problema, los
niños cuentan señalando las casas, no en correspondencia
de uno a uno, sino en correspondencia uno a muchos porque señalan
y cuentan tres veces con cada casa. La actuación de
los niños en estos problemas es sorprendentemente buena:
el 58% de las respuestas (de 5 problemas) de los niños
son correctas cuando los niños están en su primer
año de colegio (5y10m de edad, N=112).
Estas diferentes maneras que los niños utilizan para
el conteo ilustran cómo su lógica guía
la manera de que cuentan para resolver problemas. Saber contar
es una herramienta, necesaria pero no suficiente, para resolver
problemas, como tener un reloj es necesario, pero no suficiente
para que los niños puedan decir la hora.
Trasladación entre herramientas: la habilidad de calcular
problemas de adición y substracción
Los niños primero aprenden a resolver problemas de
adición utilizando sus dedos para representar los objetos
en el problema. El principio utilizado por el sistema de razonamiento
de los niños en esta representación es correspondencia
de uno a uno: un dedo representa un caramelo, una palabra de
conteo se agrega a un dedo y la última palabra de conteo
indica el número de caramelos. Hay una maniobra lógica
importante que es fundamental para esta manera de resolver
problemas: si los niños comprenden que pueden contar
los dedos para resolver problemas de caramelos, comprenden
que el referente (dedo, caramelo) no afecta el resultado de
una operación de adición. Es decir, 1 + 1 = 2
independientemente de lo que representen los números.
Más tarde, los niños son capaces de 'count on'
(seguir contando): cuando resuelven el problema 'Una chica
tiene 5 caramelos, su abuela le da 3, ¿cuántos
caramelos tiene ahora?". Reemplazan el uso de cinco dedos
con solamente la palabra 'cinco'. Este cambio parece ser un
cambio de representación: en lugar de un dedo por cada
caramelo, una palabra, 'cinco', representa los cinco caramelos
al mismo tiempo. Este cambio pequeño tiene un impacto
enorme en el sistema de razonamiento: mientras los niños
tienen un número limitado de dedos, las palabras numéricas
siguen indefinidamente. Un sistema con límites fijados
llega a ser más poderoso quitando los límites
con un cambio de herramientas.
Hay algunas indicaciones en nuestra investigación de
que este cambio de representación se relaciona con la
comprensión de los niños de composición
aditiva. Un estudio llevado a cabo por Katerina Kornilaki apoya
esta idea. Ella les dio a los niños diferentes tipos
de tareas, que se trataban del conteo con niveles distintos
de representación de uno de los números sumados,
el otro número sumado siempre se representó visiblemente.
En el primer tipo de tarea, se les pidió a los niños
que dijeran qué fueron los totales de dos series que
fueron representadas visualmente, y que quedaron representadas
todo el tiempo para que simplemente pudieran contar todos los
objetos visibles. En el segundo tipo de tarea, adoptada de
Steffe y sus colegas (1982), se les pidió a los niños
que sumaran dos series, pero una de ellos fue contada y después
escondida. Por ejemplo, se les dijo a los niños que
se imaginen una chica con seis monedas, se les enseñan
las seis monedas, que después se meten en una cartera.
Después a la chica se le dieron tres monedas, que quedaron
visibles para los niños. Se les preguntó a los
niños cuántas monedas tenía al final la chica.. Tareas con números sumados escondidos, como ya había
descubierto Steffe, pueden resolverse por procedimientos de
'count all' (contar todo) o 'count on' (seguir contando). Cuando
los niños contaron todo, señalaron la cartera
con las monedas dentro, y contaron hasta seis, y después
siguieron contando las monedas fuera de la cartera. Cuando
los niños 'count on', los niños simplemente dijeron
'seis', y siguieron contando. El tercer tipo de tarea fue nuestra
'Shop Task'. La diferencia entre las tareas es la representación
del primer número que se suma; o es completamente visible,
o visible al principio pero luego oculto, o codificado en una
moneda de más valor que 1. Las tareas claramente difieren
en nivel de dificultad: la primera es la más fácil,
y la tercera, la 'Shop Task' es la más difícil.
Un análisis de la actuación de los niños
en todas las tareas demuestra que solamente los niños
que pudieron 'count on' en la tarea de número sumado
oculto pudieron hacer la
'Shop Task', pero no todos ellos: 'count on' fue necesario,
pero no fue una maniobra suficiente para comprender la composición
aditiva requerida para tener éxito en la
'ShopTask'.
La comprensión de composición aditiva es una
idea poderosa, y parece ser la base de la adición y
substracción de números grandes en la aritmética
oral. El sistema de razonamiento de la aritmética oral
puede desarrollarse sin el conocimiento de aritmética
escrita. En Brasil, estos dos sistemas existen como prácticas
culturales independientes: la aritmética oral se usa
en los mercados de la calle y en la economía informal
en general, y la aritmética escrita se usa en las escuelas.
El contraste entre estos dos sistemas ilustra como los mismos
principios lógicos crean diferentes sistemas de razonamiento
cuando las herramientas culturales utilizadas por la persona
son distintas. Nuestro trabajo anterior en Brasil ha demostrado
que la gente joven y los adultos con poca educación
formal pueden tener muy buena habilidad de cálculo en
el modo oral, y pobre habilidad de cálculo en el modo
escrito. Esta diferencia no se explica por las diferencias
en principios lógicos utilizados para calcular usando
la aritmética oral comparada con la aritmética
escrita: se explica por las diferencias en las herramientas
culturales que se utilizan. El análisis de los procedimientos
de cálculo de los niños en la aritmética
oral y escrita demuestra que ambos tipos de aritmética
dependen de la lógica de la composición aditiva
de números y la propiedad asociativa de adición.
Si 17 es igual que 10 más 7, y 13 es igual que 10 más
3 (la composición aditiva), la suma de 17 y 13 se puede
encontrar sumando los dieces, sumando los unos, y después
sumando estos dos resultados. Estos son los principios utilizados
cuando los niños resuelven problemas de adición
y substracción oralmente, y también son los principios
utilizados en los algoritmos escritos. Sin embargo, como la
herramienta de representación cambia, números
orales o escritos, los sistemas de razonamiento utilizados
en el cálculo son diferentes. Pueden ser integrados,
pero también pueden existir en aislamiento. Nuestro
trabajo demuestra que los niños que son expertos en
la aritmética oral todavía pueden tener dificultades
en el uso de los mismos principios de razonamiento para calcular
con el sistema escrito (un análisis de esta investigación
se encuentra en Nunes, Schliemann and Carraher, 1993), y viceversa:
mucha gente puede usar el sistema escrito para cacular, pero
no el sistema oral. La trasladación entre sistemas orales
y escritos de cálculo no es fácil. Sin embargo,
es posible imaginarse de un sistema que coordina ambos sistemas,
y que sería más poderoso y flexible que los dos.
La trasladación entre herramientas: lenguaje proporcional
y fraccional en las cantidades intensivas
El ejemplo final que utilizaré aquí es la representación
de cantidades intensivas, y cómo afecta la comprensión
de los niños de problemas de cantidades intensivas.
Cantidades intensivas son cantidades definidas por la proporción
entre dos otras cantidades. Por ejemplo, el sabor del zumo
de naranja depende de la proporción entre el concentrado
de naranja y el agua. La probabilidad de que ocurre un acontecimiento
(por ejemplo, coger una canica azul de una bolsa) depende de
la proporción entre los casos favorables y no favorables
(las canicas de otros colores). Muchas (aunque no todas) cantidades
intensivas se pueden representar numéricamente o por
proporciones o fracciones. La mezcla de zumo de naranja se
puede expresar como una taza de concentrado por dos tazas de
agua, o 1/3 concentrado. La probabilidad de coger una canica
azul se puede describir como una canica azul por dos canicas
blancas, o como 1/3. Ambas formas de representación
incluyen el razonamiento proporcional cuando hacen comparaciones:
por ejemplo, entre el sabor de zumo de naranja de dos mezclas
o la probabilidad de coger una canica azul de dos bolsas con
una mezcla de canicas blancas y azules.
Despina Desli comparó la habilidad de los niños
para resolver problemas de cantidad intensiva cuando la información
fue presentada a ellos en lenguaje proporcional o en lenguaje
fraccional. Se les dieron problemas a los niños como éste:
Una niña hace tres tazas de zumo de naranja mezclando
una taza de concentrado con dos tazas de agua. El zumo sabe
perfectamente, así que el día siguiente, cuando
va a hacer el zumo para una fiesta, quiere que sepa exactamente
igual. Tiene que hacer 18 tazas de zumo. ¿Cuántas
tazas de concentrado y cuántas tazas de agua debe utilizar?
Este problema está impregnado de lenguaje proporcional.
A la mitad de los niños se les presentó el problema
así. A la otra mitad, se le presentó el problema
en lenguaje fraccional: Una chica hace tres tazas de zumo de
naranja usando una mezcla de 1/3 concentrado con 2/3 agua.
El zumo sabe perfectamente. Así que el día siguiente
va a hacer zumo para una fiesta y quiere que sepa exactamente
igual. Tiene que hacer 18 tazas de zumo. ¿Cuántas
tazas de concentrado y cuántas tazas de agua debe usar?
La mitad de los niños de cada grupo tuvo cosas para
manipular para ayudarles a resolver el problema: tazas pequeñas
de color naranja y blanco. La otra mitad de los niños
solamente tuvo papel y lápiz. Se seleccionaron los niños
al azar en estas condiciones.
Todos los niños en el estudio, de edades de 8 a 10,
habían sido enseñados en el colegio sobre las
fracciones utilizadas en el problema. Los niños de 8
y 9 años a que se les presentó el problema en
el lenguaje proporcional actuaron significativamente mejor
que los a que se les presentó el problema en lenguaje
fraccional, la diferencia no fue significativa para los niños
de 10 años. Como los niños habían sido
seleccionados al azar a estas condiciones de prueba, es razonable
imaginar que las diferencias de lenguaje explican las diferencias
de actuación. Es posible que los niños puedan
empezar a desarrollar su comprensión de proporcionalidad
usando una representación proporcional sin poder conectarla
a una representación fraccional, y solamente más
tarde consiguen esta coordinación.
Un análisis de las estrategias de los niños
sostiene que este es el caso. Cuando los problemas son presentados
en lenguaje proporcional, el 30% de los niños pueden
usar el razonamiento de correspondencia, y replicar las correspondencias
hasta que alcanzan la cantidad total. Por ejemplo, una taza
de concentrado con dos tazas de agua hacen 3 tazas, dos tazas
de concentrado con 4 tazas de agua harían 6 tazas, etc.,
hasta que obtengan las deseadas 18 tazas en total. La lógica
de correspondencia se desarrolla tempranamente y los niños
pueden empezar a resolver problemas proporcionales con ella.
No es fácil para los niños usar este esquema
cuando se les presenta el problema en lenguaje fraccional.
Como los niños no se trasladan fácilmente entre
dos formas de representar problemas, aunque podrían
usar correspondencia para resolver el problema, muy pocos (el
4%) de los a que se les presentó el problema en lenguaje
fraccional pensaron en esta solución.
Conclusiones
Estos ejemplos fueron utilizados para demostrar cómo
la idea de sistemas de razonamiento, que son abiertos y pueden
lograr el mismo fin a través de mecanismos diferentes,
pueden coordinar el uso de la lógica con herramientas
diferentes que son desarrolladas culturalmente. Estas herramientas
pueden potenciar los usuarios, ayudándoles a superar
los límites de memoria y percepción, por ejemplo.
También influyen en cómo los usuarios visualizan
los problemas matemáticos. Como las diferentes herramientas
de representaciones destacan aspectos diferentes de la misma
situación, los usuarios que pueden coordinarlas son
más flexibles. Sin embargo, esta coordinación
tal vez no llegue de manera fácil y espontánea:
uno de los fines de la enseñanza matemática debe
ser ayudar a los usuarios a coordinar sistemas que parecen
funcionar independientemente, pero se relacionan a la misma
lógica.
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